北大精品课件高等代数(下)

1第二学期第一次课第五章§3实与复二次型的分类1．复、实二次型的规范形：定理复数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形,221rzz其中r是f的秩.复二次型的规范形是唯一的.证明复数域C上给定二次型)ninjjiijxxaf11(jiijaa)设它在可逆线性变数替换X＝TZ下变为标准型222211zdzd…2nnzd这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换Tn21n21），，，）＝（，，，（使对称双线性函数f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即f,),(ijijid设,,21dd…nd中有r个不为零。只要把n21，，，的次序重新排列一下，就可以使不为零的id排在前面，而后面n－r个id全为零。因此，不妨设f的标准型为222211zdzd…2rrzd（id）r,2,1,0i，f的矩阵为A=(ija),有ATT＝D＝0021rddd因T可逆，r（D）=r(A).故D中主对角线上非零元素个数r＝r（D）＝r（A）＝f的秩。因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变数替换（其中id为id的任一平方根）：2nrrrnrrzzzzdduuuuU1111111于是f变作.22221ruuu定理实数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形,221221qpppzzzz其中正平方项的个数p称为f的正惯性指数，负平方项的个数q称为f的负惯性指数（qp称为f的符号差），qp是f的秩.实二次型的规范形是唯一的.证明在实数域R上给定二次型ninjjiijxxaf11(jiijaa)设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在R上可逆线性变数替换X＝TZ，使f化为标准型222211zdzd…2rrzd其中,,21dd…rd为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个:,,21dd…pd为正数，而余下r－p个：rpdd,,1为负数。因为在R内任何正数均可开平方，故可做R内可逆线性变数替换nnrrrrrppppppzuzuzduzduzduzdu11111111于是二次型化作3221221rppuuuu其中rp0.现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。设f有两个规范型221221rppuuuu221221rqqvvvv按命题2.2的推论，这表明在R上n维线性空间V内存在一组基n21，，，，使当nnuu11时)(fQ221221rppuuuu在V内又存在一组基n21，，，，使当nnvv11时，)(fQ221221rqqvvvv现令M=L(p，，1)，则当0,M时，ppuu11(iu不全为零)。于是)(fQ0221puu。又令N＝L（nq,,1）。则当N时，有nnqqvv11于是)(fQ0221rqvv。这表明0NM。按维数公式，我们有)(dimdim)dim(dimqnpNMNMVn这表明0qp，即qp。由于p，q地位对称，同理应有pq，于是p＝q。第二学期第二次课2．正定二次型：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型；正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵；设A＝（ija）为n阶实对称矩阵，称A的r阶子式rrA2121为方阵的顺序主子式。定理设f是实二次型，则下述四条等价：（i）f正定；（ii）f的矩阵TTA，其中T为可逆阵；4（iii）f对应的二次型函数(0)(fQR)0,n;（iv）f的矩阵的所有顺序主子式都大于0.证明由命题2.2知（i）与（ii）等价。（i）与（ii）等价有一个很有用的推论：正定矩阵的行列式大于零。（i）（iii）：在V的某一组基n21，，，下)(fQ的解析表达式为：若nnuu11，)(fQ.22221nuuu显然有(0)(fQR)0,n。（iii）（i）：设AXXf的规范型为221221rppuuuu则上式为)(fQ在V的某一组基n21，，，下的解析表达式。若rn,则)(nfQ＝0，与假设矛盾。故r＝n。而若pr=n,则)(nfQ＝－1，与假设矛盾。于是p=r=n,即f正定。（i）（iv）：设f在基n21，，，下矩阵为A。令M＝L（k，，，21）。把f限制在M内，在M的基k，，，21下它的矩阵为kkkkkkkaaaaaaaaaA212222111211因0)(,0,fQM。由（i）与（ii）的等价性的推论知kkA21210.(iv))(i:对n做数学归纳法。n=1时结论是显然的.现设对n-1个变元的实二次型命题成立.考察V的子空间M=L(1n21，，，),f限制在M内,在基1n21，，，下的矩阵为1112111222211112111nnnnnnnaaaaaaaaaA其各阶顺序主子式0.按归纳假设,0)(,0,fQM.于是,11nnEA合同于.于是M内存在一组基1-n21，，，,使f在此基下的矩阵为1nE.将1-n21，，，添加成为V的一组基.令511),(niiif则,1-n21，，，与,1-n21，，，等价,也是V的一组基.且0),(if.故f在,1-n21，，，下的矩阵为),(001fEBnB与A合同,有,,0||),(BATTTRMnT使于是.0||||||),(2ATBfd令,1dn则n21，，，为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为nE,即A合同于nE,从而f正定.最后，我们指出，n元实二次型可分为如下5类：1）正定二次型：正惯性指数＝秩＝n；2）半正定二次型：正惯性指数＝秩；3）负定二次型：负惯性指数＝秩＝n；4）半负定二次型：负惯性指数＝秩；5）不定二次型：其他。第二学期第三次课第六章带度量的线性空间§1欧几里得空间设f是实线性空间V上的一个正定、对称的双线性函数,则,,V(,):=),(f称为向量与的内积；具有内积的实线性空间称为欧几里得空间（简称欧氏空间）；对任意,V定义),(||为向量的长度或模.1||时,称为单位向量.命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式)对欧氏空间V内任意两个向量,,有|||||),(|证明(+t,+t)0对任意tR成立,而6(+t,+t)=(,)t2+2t(,)+),(0),)(,(4),(42,故|||||),(|由命题1.1可定义二向量与的夹角,,=||||),(arccos如果(,)=0,则称与正交.设n21，，，是n维欧氏空间V的一组基.令),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnG称G为内积(,)在基n21，，，下的度量矩阵.G是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的.命题1.2设欧氏空间V内s个非零向量s21,,,两两正交,则它们线性无关.证明假如0s2211skkk两边用i作内积,得0ik,(i=1,2,…,s).如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量n21，，，,则由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组标准正交基.显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.设n21，，，是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆阵T,使EGTT.现令(n21，，，)=(n21，，，)T.易验证n21，，，就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.设R上n阶方阵T满足ETT则称T是正交矩阵.7命题1.3n21，，，是V的一组标准正交基,令(n21，，，)=(n21，，，)T则n21，，，是一组标准正交基当且仅当T是正交矩阵.证明必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故EETT即ETT,T是正交矩阵.充分性:T是正交阵,故可逆.于是n21，，，也是一组基.设内积在此基下的度量矩阵为G,则GEETT,从而n21，，，是标准正交基.命题1.3给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩阵.下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。把问题提得一般一些:给定V中一个线性无关的向量组s21,,,要求作出一个新向量组s21，，，满足:(1)L(i21，，，)=L(i21,,,)(2)s21，，，两两正交.具体做法如下:,),(),(),(),(,),(),(,2222311113331111222111s1kkkkksssi1kkkkk1i1i1i),(),(),(),(8不难看出s21，，，满足所要求的条件.设M是n维欧氏空间V的一个子空间,易知M关于V的内积也成一个欧氏空间.定义0),(|有对一切MVM称M为M的正交补.显然M也是V的子空间.命题1.5设M是n维欧氏空间V的子空间，则MMV.证明设MM,则由正交补的定义得(,)=0.所以0.这说明MM是直和.取M的一组标准正交基s21，，，,先将它扩为V的一组基s21，，，,n1s,,.将它先正交化,再单位化.由于s21，，，已经是两两正交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到s21，，，,n1s,,.显然n1s,,与M中向量都正交,故n1s,,M.于是V=L(s21，，，)+L(n1s,,)MMV从而MMV.推论n维欧氏空间V中的任一两两正交的单位向量组s21，，，都可以扩充为V的标准正交基.证明设M=L(s21，，，),在M中取出一组标准正交基n1s,,,则s21，，，,n1s,,就是V的一组标准正交基.最后介绍一下欧氏空间同构的概念.设21,VV是两个欧氏空间,如果存在21VV到的一个映射,满足(1)是21VV到的线性空间的同构映射(2)保持内积关系.则称是欧氏空间21VV到欧氏空间的同构映射,称21VV与同构.第六章§2欧氏空间中特殊的线性变换1．正交变换设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意V,都有(A,A)=),(则称A是V内的一个正交变换.正交变换的四个等价表述:9命题2.1A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,则下列命题等