2018年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第27讲数系的扩充与复数的引入课件理

平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章第27讲数系的扩充与复数的引入考纲要求考情分析命题趋势1.理解复数的基本概念．2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示法及其几何意义．4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2016，全国卷Ⅱ，1T2016，山东卷，1T2016，四川卷，2T2016，全国卷Ⅰ，2T2016，全国卷Ⅲ，2T复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(特别是除法运算)是高考考查的主要内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题.分值：5分板块一板块二板块三栏目导航板块四•1．复数的有关概念•(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的______和______．若______，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若_________________，则a＋bi为纯虚数．•(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔_________________(a，b，c，d∈R)．•(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_________________(a，b，c，d∈R)．实部虚部b＝0a＝0，且b≠0a＝c且b＝da＝c且b＝－d•(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______________叫做虚轴．实轴上的点都表示______；除原点外，虚轴上的点都表示_________；各象限内的点都表示___________．(5)复数的模：向量OZ→的模r做复数z＝a＋bi的模，记作______或______，即|z|＝|a＋bi|＝___________.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi――――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi――――→一一对应_____________________(a，b∈R)．x轴y轴除去原点实数纯虚数非纯虚数|z||a＋bi|a2＋b2平面向量OZ→3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝______________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________________；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝___________________________(c＋di≠0)．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iac＋bd＋bc－adic2＋d2(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝_________，(z1＋z2)＋z3＝_________________．4．i乘方的周期性in＝1，n＝4k，i，n＝4k＋1，－1，n＝4k＋2，－i，n＝4k＋3.(k∈Z)5．共轭复数与模的关系z·z＝|z|2＝|z|2.z2＋z1z1＋(z2＋z3)•1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．•(1)若a∈C，则a2≥0.()•(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．()•(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．()•(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．()×××√•解析：(1)错误．若a＝i，则a2＝－10,因而(1)错．•(2)错误．若两个复数为虚数，或一个为实数，一个为虚数，则它们不能比较大小．•(3)错误．当虚部也为0时，则此复数为实数0.•(4)正确．由复数的几何意义可知该结论正确．•2．已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值为()•A．－6B．－2C．2D．6解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数得a＋2＝0，1－2a≠0，由此解得a＝－2.B•3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()•A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1•C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－1•解析：由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等条件得a＝1，b＝－1.D•解析：z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)，在第二象限内．4．若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于第______象限．5．若复数z满足z＋i＝3＋ii，则|z|＝________.解析：因为z＝3＋ii－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝17.二17•(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．•(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．•一复数的有关概念【例1】(1)(2015·广东卷)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2i(2)(2016·江苏卷)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是______.(3)(2015·江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为______.解析：(1)i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以z＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选A．(2)(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由复数相等的定义得a2－b2＝3，2ab＝4，解得a＝2，b＝1或a＝－2，b＝－1，从而|z|＝a2＋b2＝5.A55•二复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【例2】(1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D(3)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋y的值是______.AB5解析：(1)由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.(2)设z＝－a＋bi(a0，b0)，则z的共轭复数z＝－a－bi.它对应的点为(－a，－b)，是第三象限的点，即图中的B点．(3)由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵OC→＝xOA→＋yOB→，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴－x＋y＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4，故x＋y＝5.•三复数代数形式的运算•(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．•(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．【例3】(1)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1B．2C．3D．2(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则4izz－1＝()A．1B．－1C．iD．－i(3)(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2BCB解析：(1)∵x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi，∴x＝1，y＝1，∴|x＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2.故选B．(2)∵zz＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4izz－1＝4i4＝i，故选C．(3)∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，即4a＋(a2－4)i＝－4i，∴4a＝0，a2－4＝－4，解得a＝0.1．(2017·安徽安庆二模)设i是虚数单位，如果复数a＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a的值为()A．13B．－13C．3D．－3解析：a＋i2－i＝2a－1＋a＋2i5，由题意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.C2．(2017·广东肇庆三模)若复数z满足(1＋2i)z＝(1－i)，则|z|＝()A．25B．35C．105D．10解析：z＝1－i1＋2i＝－1－3i5⇒|z|＝105.C3．(2017·湖北重点高中联考)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位，则2z－z2的共轭复数是()A．－1＋3iB．1＋3iC．1－3iD．－1－3i解析：2z－z2＝21＋i－(1＋i)2＝21－i1＋i1－i－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B．B4．(2017·甘肃兰州诊断)复数11－i(i是虚数单位)的虚部是()A．1B．iC．12D．12i解析：因为11－i＝1＋i1－i1＋i＝12＋12i，所以该复数的虚部为12，故选C．C•错因分析：①弄错虚部的概念，忽略虚部是实数，不包含虚数单位i.②忽略纯虚数中，a＝0且b≠0.③虚数之间不可以比较大小，如果两个复数之间可以比较大小，则一定均为实数．•易错点复数的基本概念认识不清晰•【例1】若z＝(1＋i)i(i为虚数单位)，则z的虚部是()•A．1B．－1C．iD．－i•解析：∵z＝(1＋i)i＝i＋i2＝－1＋i，∴z的虚部为1.•答案：A•【例2】实数m分别取何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，•(1)是实数；(2)是纯虚数；(3)对应点在x轴上方．解析：(1)由z为实数，得m2－2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3；(2)由z为纯虚数，得m2＋5m＋6＝0，m2－2m－15≠0，解得m＝－2；(3)由z的对应点在x轴上方，得m2－2m－150，解得m－3或m5.•【例3】使不等式(m2－4m＋3)i＋10m2－(m2－3m)i成立的实数m＝______________.解析：∵(m2－4m＋3)i＋10m2－(m2－3m)i，∴m2－4m＋3＝0，m2－3m＝0，10m2，解得m＝3.•答案：3