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三角形中线与角平分线专题(二)1、三角形内外角平分线的四个经典结论:结论一:三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系已知如图1,BP平分ABC,CP平分ACB,求P与A的数量关系.01902PA结论二:三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系.已知如图2,BP平分外角CBE,CP平分外角BCF,求P与A的数量关系.01902PA结论三:三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系如图,BP平分ABC,CP平分外角ACD,求P与A的数量关系.12PA结论四:结论三延伸平分ACDABC和,连结EA,则如图,CEBE、分别EA为HAC的平分线应用举例:例1:在四边形ABCD中,120D,100A、ABC、ACB的角平分线的交与点E,试求BEC的度数.21AEFPBC21PBDAC例2:在ABC中,三个外角的平分线所在的直线相交构成DEF,试判断DEF的形状.例3:如图3,在ABC中,延长BC到D,ABC与ACD的角平分线相较于1A点,BCA1与CDA1的平分线交与2A点,以此类推,若96A,则5A,nA.图三图四例4:点M是ABC两个内角的平分线的交点,点N是ABC两个外角的平分线的交点,如果∠CMB∶∠CNB=3∶2,那么CAB例5:(2011年湖北省鄂州是中考题)△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=_______.2、角平分线性质的应用3、角平分线与等腰三角形的构造问题:【模型一】角平分线+平行线等腰三角形如图(1)中,AD平分BAC,AD//EC;如图(2)中,AD平分BAC,DE//AC;如图(3)中,AD平分BAC,CE//AB;如图(4)中,AD平分BAC,EF//AD。例1:如图,在△ABC中,AB=AC,在AC上取点P,过点P作EFBC,交BA的延长线于点E,垂足为点F。求证:AE=AP例2:如图,在△ABC中,∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O,过点O作DE//AC,分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系,并说明你的理由。训练题:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上,且DE=CD,EF=AC,求证:EF//AB【模型二】角平分线+垂线等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时,我们就可以寻找到等腰三角形。如图,若AD平分∠BAC,ADDC,则AEC是等腰三角形。例3.:如图,在等腰RtABC中,AB=AC,∠BAC=90,BF平分∠ABC,CDBD,交BF的延长线于D。求证:BF=2CD【模型三】作倍角平分线等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图,若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC,则DBC是等腰三角形。例4.:如图,在ABC中,∠ACB=2∠B,BC=2AC。求证:∠A=903、角平分线定理及逆定理的应用:例1:简单的定理应用(1)如图,ABCRtAD是的角平分线,90C,ABDE于点E,点F是AC上一点,DFBDCFBE:,求证(2)如图,BD是ABC的平分线,EABDE于,cmABcmSABC18,362,cmBC12,求DE的长.例2:在梯形中的应用(作为结论记住)如图,BACCDAB,//的角平分线与DCA的角平分线交于点M,经过M的直线EF与AB垂直,垂足为F,且EF与CD交于E,求证:点M为EF的中点.变式1:如图,DABBCAD,//的角平分线与ABC的角平分线交于点E,过E的直线交AD于D,交BC于C,求证:(1)BEAE(2)ECDE(3)试证:的关系与BCADAB例3:角平分线与中垂线的综合:(1)如图,ABC中,AD为BAC的平分线,AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F,连接AF,求证:CAFB(2)如图,在ABC中,BAC的平分线与BC边的中垂线相交于点P,过D作ACAB、的垂线,垂足分别为NM、,求证CNBM例4:逆定理应用(1)将两块完全相同的直角三角板(90AFBAEC),按如图所示的方式放置在一起,使得边AE在AB上,边AF在AC上,DCEBF相交于点与,求证:点D在BAC的平分线上.(2)如图,在AOB的两边EMDNOEODONOMOBOA和上分别取、,,相交于点C,求证:点C在的平分线上AOB.
本文标题:三角形中线与角平分线专题(二)
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