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淮阴师范学院毕业论文(设计)1摘要:首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词:矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵淮阴师范学院毕业论文(设计)2Abstract:Firstly,itisgivenmatrixeigenvaluesandeigenvectorsoftwoothermethods,thenwiththepropertiesofeigenvaluethecontractofmatrixdiscussed,wedeeplydiscussthesufficientandnecessaryconditionsforthesimilarmatrixcontract,andtheinversematrixoftherelatedproblemsolving.Keywords:matrixcharacteristicpolynomial,eigenvalue,eigenvector,diagonalmatrices,inversematrix淮阴师范学院毕业论文(设计)3目录1前言……………………………………………………………………42矩阵的特征值和特征向量的求法………………………………………42.1矩阵的初等变换法………………………………………………42.2矩阵的行列互逆变换法……………………………………………63矩阵特征值的一些性质及应用…………………………………………73.1矩阵之间的关系………………………………………………………73.1.1矩阵的相似…………………………………………………………73.1.2矩阵的合同…………………………………………………………73.2逆矩阵的求解…………………………………………………………83.3矩阵相似于对角矩阵的充要条件……………………………………83.4矩阵的求解……………………………………………………………93.5矩阵特征值的简单应用………………………………………………10结论………………………………………………………………………11参考文献……………………………………………………………………12致谢………………………………………………………………………13淮阴师范学院毕业论文(设计)41前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学(如物理学、控制论、弹性力学、图论等)和工程应用(如结构设计、振动系统、矩阵对策)的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2特征值和特征向量的求解方法求n阶矩阵A的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A的特征多项式AEf的全部特征根,然后对每个特征根nii,,2,1求解齐次线性方程组0XAEi的一个基础解系,即为A的属于特征根i的线性无关的特征向量.现再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理11设齐次线性方程组0mnAX的系数矩阵A的秩数nr,000rEPAQ的非奇异矩阵nnQ的后nr列便构成线性方程组的一个基础解系.在运用传统方法求解矩阵A的特征值时,我们求AEf的全部特征根时是通过将矩阵AE经过一系列的初等变换化成三角矩阵,这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵G.由定理1知,当矩阵EAE经过一系列的初等列变换变换成QG时,求0G得的i就是矩阵A的特征值,然后将i代入QG,iG中的0列所对应的列就是所对应i的特征向量iQ.例1已知矩阵211031213A,求矩阵A的特征值和特征向量.淮阴师范学院毕业论文(设计)5解2221120103102121324310010001001000101100110022112254433454100001010010211112EAE21001203468001011113.GQ由2240知A的特征根122,43.当122时,10010021202001011111GQ,特征向量1111.当34时,10012041004001011111GQ,特征向量3111.淮阴师范学院毕业论文(设计)62.2矩阵的行列互逆变换法定理22对于任意的矩阵A,矩阵EA都能经过一系列的行列互逆变换变成PJT.其中riPPPPPJJJJTiiiirrkkkikr,,2,1,,,,,,,,,,,,21212121.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数计算).因此在求解矩阵A的特征值时我们又可以通过将矩阵EA进行行列互逆变换,从而得到A特征值i,以及它对应的特征向量ikii.例2求矩阵211031213A的特征值与特征向量.解.111110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131111100010001312130112333223211213312122121rcrrccrrccrrccEA淮阴师范学院毕业论文(设计)7所以特征值4,2321,对应特征值43的特征向量1113,对应的特征值221的特征向量1111.3矩阵特征值的一些性质及应用3.1矩阵之间的关系3.1.1矩阵的相似性质1如果存在n阶可逆矩阵X,使得n阶矩阵A和B满足AXXB1,即矩阵A与矩阵B相似,i为矩阵A的特征值,i为i所对应的特征向量,则i也为矩阵B的特征值,且B对应于i的特征向量为iX1.注反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2矩阵A与B都是n阶矩阵,乘积矩阵BA与AB不一定相似,但却有相同的特征值.证明若0是AB的特征值,则0,0AB故AB不可逆,于是A与B中至少有一个不可逆,从而BA不可逆,故有非零向量使0BA,即0是BA的特征值.设0是AB的特征值,即存在0使得AB.令B,则0ABA,因此0于是BBBABBA,即是属于BA的特征向量,是BA的特征值,同理可证BA的任何特征值也是AB的特征值.例如矩阵1001A和矩阵1201B,BA与AB不相似却有相同的特征值1.例3设n阶矩阵BA,,则矩阵ABA与AAB,BBA与BAB分别都有相同的特征值.证明由于EBAAABAEBABA,,由性质2知BABABA,有相同的特征值,同理BABBBA,也有相同的特征值.得证.3.1.2矩阵的合同性质3n阶对称矩阵A与B合同,即存在n阶可逆矩阵C,使得ACCBT,其充要条淮阴师范学院毕业论文(设计)8件是A与B的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例4判断矩阵1111111111111111A与矩阵0000000000000004B是否合同.解因为矩阵A是实对称矩阵,可以求得34detEA,即A的特征值为0321,44,矩阵B的特征值为41,0432,由性质知矩阵A和矩阵B合同.3.2逆矩阵的求解性质34对于n阶矩阵A,由哈密顿―凯莱定理可以知道0Af,即00111EaAaAaAannnn.所以EEaAaaAnn1101,从而EaAaaAnn11011.故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到1A.例5已知矩阵101001321bbbA,的特征多项式是31f,求1A.解因为1331233f,所以EAAA3321,即10100130003000333303300312201200132311321331211bbbbbbbbbbbbbA.由本例可见,任何一个可逆矩阵A的逆矩阵必是A的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3矩阵相似于对角矩阵的充要条件性质35n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值0在AE中的重数等于A的属于0的线性无关的特征向量的个数.由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵.淮阴师范学院毕业论文(设计)9例6矩阵000100100A能否与对角矩阵相似?为什么?解不能.因为0是030AE的三重根,且秩2AE,于是A的属于0的线性无关向量的个数为123,由性质8知,A不能相似于对角矩阵.3.4矩阵的求解我们知道如果设1和2是2阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,1和2是对应于它们的特征向量,则1和2正交.且设nii,,2,1是n阶实对称矩阵A的互不相同的特征值,nii,,2,1是对应于特征值的特征向量,则nii,,2,1两两正交.这样,如果对于n阶实对称矩阵A,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵A.例7设3阶对称矩阵A的特征多项式是215,且1111是对应于5的特征向量,求矩阵A.解由上面的性质我们知道1对应的特征向量和1正交,因此设1所对应的特征向量为321xxx,对应于1的两个线性无关的向量可取0321xxx的基础解系,1012,0113,将正交向量组321,,单位化得到正交矩阵0213121031212131Q,正交矩阵Q满足100010005AQQT,淮阴师范学院毕业论文(设计)10所以456546663TQQA.补充:同时还能求出kA
本文标题:矩阵的特征值与特征向量的求法
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