立体几何(几何法)—线面角

立体几何（几何法）—线面角例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。（Ⅰ）证明：PC平面BED；（Ⅱ）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝6.因为PCFC＝ACEC，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝22.ECBDAP设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝dPD＝12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C(22，0,0)，D(2，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E423，0，23，B(2，－b,0)．于是PC→＝(22，0，－2)，BE→＝23，b，23，DE→＝23，－b，23，从而PC→·BE→＝0，PC→·DE→＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.(2)AP→＝(0,0,2)，AB→＝(2，－b,0)．设＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·AP→＝0，·AB→＝0，即2z＝0且2x－by＝0，令x＝b，则＝(b，2，0)．设＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则·PC→＝0，·BE→＝0，即22p－2r＝0且2p3＋bq＋23r＝0，令p＝1，则r＝2，q＝－2b，＝1，－2b，2.因为面PAB⊥面PBC，故·＝0，即b－2b＝0，故b＝2，于是＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)，cos〈，DP→〉＝n·DP→|n||DP→|＝12，〈，DP→〉＝60°.因为PD与平面PBC所成的角和〈，DP→〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．图1－4【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠PAD＝PDAD＝2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：(i)EF∥A1D1；(ii)BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．图1－5【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝46.在直角△BHC1中，BC1＝25，BH＝46，得sin∠BC1H＝BHBC1＝3015，所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.