11-12学年高中数学 1.2.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2课件 新人教A版选修

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)（复合函数的求导法则）•1．了解复合函数的定义，并能写出简单函数的复合过程；•2．掌握复合函数的求导方法，并运用求导方法求简单的复合函数的导数．学习目标：•本节重点：•①导数公式和导数运算法则的应用．•②复合函数的导数．•本节难点：复合函数的求导方法．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝.即y对x的导数等于.复合函数及其求导法则x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积[例1]指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的．①y＝a3x＋2②y＝ln3ex＋2③y＝log2(x2－2x＋3)④y＝sin(x2＋1)⑥y＝43－lnx[解析]①y＝au，u＝3x＋2③y＝log2u，u＝x2－2x＋3④y＝sinu，u＝x2＋1⑤y＝eu，u＝x2－2[例2]求下列函数的导数(1)y＝(3x－2)2(2)y＝ln(6x＋4)(3)y＝e2x＋1(4)y＝2x－1(5)y＝sin3x－π4(6)y＝cos2x•[分析]抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．•[解析](1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.•开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟练后可简化步骤如下：•y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.•(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x•[点评]法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．求下列函数的导数：(1)y＝lnsin2xx；(2)y＝x1－x.•[例3]某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间的距离对时间的瞬时变化率是________km/h.•[分析]瞬时变化率就是位移s对时间t的导数．•[答案]－1.6•[点评]导数在实际问题中有着广泛的应用，如物理学中，位移s对时间t的导数是表示时刻t处的瞬时速度，而速度对时间t的导数就是时刻t处的加速度．设y＝8sin3x，求曲线在点Pπ6，1处的切线方程．[解析]y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，∴曲线在点Pπ6，1处的切线的斜率k＝＝24sin2π6·cosπ6＝33.∴适合题意的曲线的切线方程为y－1＝33x－π6，即63x－2y－3π＋2＝0.•[答案]A一、选择题1．y＝12(ex＋e－x)的导数是()A.12(ex－e－x)B.12(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－x[解析]y′＝12(ex)′＋12(e－x)′＝12ex＋12e－x(－x)′＝12ex－12e－x＝12(ex－e－x)，故应选A.练习•[答案]C2．已知f(x)＝sin1x，则f′(x)＝()A.12xxcosxB.－12xxcosxC．－12xxcos1xD.12xxcos1x•[答案]A3．下列函数求导数，正确的个数是()①(e2x)′＝e2x②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)·2x③(ln2x)′＝2x④(a2x)′＝2a2xA．0B．1C．2D．3二、填空题4．设f(x)＝2sin3x＋π4，则f′π4＝________.[答案]－6[解析]∵f′(x)＝2cos3x＋π4·3x＋π4′＝6cos3x＋π4，∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.5．曲线y＝33x2＋1在点(1，34)处的切线方程为________________．[答案]x－32y＋1＝0三、解答题6．求下列函数的导数：(1)y＝(1－3x)3；(2)y＝ln1x；(3)y＝sinx21－2cos2x4.[解析](1)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2.(2)y′＝11x·1x′＝x·－1x2＝－1x.(3)y＝－sinx2·cosx2＝－12sinx.∴y′＝－12sinx′＝－12cosx.