第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题A解析

第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题A解析1.用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]=3，则：201732017420175201762017720178[][][][][][]111111111111的值为。【考点】取整运算【专题】计算【难度】☆【解析】直接计算即可比较麻烦的简算方法：先看第一项20173(200215)361001454545[][][][691]691[]1111111111第二项：20173(200215)481001606060[][][][891]891[]1111111111所以原式=45607590105120691[]891[]1091[]1291[]1491[]1691[]111111111111=(6810121416)914568910=60482.从4个整数中任意选出3个,求出它们的平均值,然后再求这个平均值和余下1个数的和,这样可以得到4个数：8，12，2103和193,则原来给定的4个整数的和为。【考点】平均数与求和【专题】计算【难度】☆【解析】假设这四个数为,,,abcd每三个数的平均值为：()3,()3,()3,()3abcabdacdbcd分别与余下的数的和为：21()38,()312,()310,()3933abcdabdcacdbbcdd将这四个式子左右两边分别相加得到：21()3()3()3()381210933abcdabdcacdbbcdd()340abcabdacdbcdabcd3()3()40abcdabcd2()40abcd20abcd3.在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共有种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合,则把它们视为同一种摆放方法）.【考点】【专题】杂题【难度】☆【解析】这种题目因为情况不多，所以一一列举就是一种很好的办法，但是要注意不能重复和遗漏。①选择右上角的格子放第一个棋子，那么其他格子放旗子的情况如图所示标号，一共有7种情况②选择如图所示位置放第一个棋子，那么其他格子放旗子的情况只有三种而再尝试其他位置放第一个棋子，我们会发现和以上其中一种情况会重复，所以一共有7+3=10（种）4.甲从A地出发去找乙,走了80千米后到达B地,此时,乙已于半小时前离开B地去了C地,甲已离开A地2小时,于是,甲以原来速度的2倍去C地,又经过了2小时后,甲乙两人同时到达C地,则乙的速度是千米/小时.【考点】追及问题【专题】行程【难度】☆【解析】行程问题一般来说都能用画线段图的方法来解决，重点是要将题目中的文字转换成图上的数据：甲从A到B点，路程和时间已知，那么甲的速度为：80÷2=40（千米/小时）甲从B到C点，速度为2倍，时间已知，那么路程为：40×2×2=160（千米）乙走的路程为BC段，时间为2+0.5=2.5（小时）所以乙的速度为：160÷2.5=64（千米/小时）5.某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组,已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的27,是只参加朗诵小组人数的15,那么书法小组与朗诵小组的人数比是_______.【考点】分数应用题【专题】应用题【难度】☆☆【解析】首先明确题目中涉及三类人群：只参加书法小组、只参加朗诵小组、两个小组都参加，将题中的文字转换成公式：两个小组都参加的人数=只参加书法小组人数×27两个小组都参加的人数=只参加朗诵小组人数×15这里设份数来解，首先两个小组都参加的人数一定是分子的份数，但是27和15分子不相同，所以要将分子化相同，变为27和210设两个小组都参加的人数为2份，只参加书法小组人数为7份，只参加朗诵小组人数为10份书法小组人数：朗诵小组人数=（2+7）：（2+10）=9:12=3:4一定要注意书法小组人数=只参加书法小组人数+两个小组都参加的人数6.右图中,△ABC的面积100平方厘米,△ABD的面积为72平方厘米.M为CD边的中点,∠MHB=90°.已知AB=20厘米.则MH的长度为厘米.【考点】三角形【专题】几何【难度】☆☆【解析】过D点和C点做AB的垂线，分别交于E、F两点，那么DE、CF分别为△ADB和△ACB的高根据三角形面积公式（三角形面积=底×高÷2）可以求出DE=72×2÷20=7.2（厘米）；CF=100×2÷20=10（厘米）而M为DC的重点，那么MH为直角梯形CDEF的中位线，所以MH=（DE+CF）÷2=（7.2+10）÷2=8.6（厘米）7.一列数12n,,,aaa…，…,记()iSa为ia的所有数字之和，如(22)224S.若1a=2017，2a=22，na=1()nSa+2()nSa，那么2017a等于10.【考点】数列【专题】计算【难度】☆☆☆·【解析】通过枚举找规律，发现从2a开始24个数一个周期，（2017-1）÷24=84，则2017a=10aSaS12017101699222417134314518134499198851452012361452111271012255866237797724123101342510111112264412662755138828991414529145151348.如右图,六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A,B,C,D,E,F顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放,最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,则不同的摆放方法共有种．【考点】排列组合【专题】计数【难度】☆☆【解析】这是一个利用多边形的排列组合的题目首先A,B,C,D,E,F这6个顶点的位置没有发生变化，而结果是每个字在在开始位置的相邻处，以“华”字为例，开始在A点，那么之后只有B,F两种位置所以需要分类讨论：（1）“华”字在B点，那么原来B点的“罗”字同样有2个位置，A和C点①“罗”在A点，那么原来C点的“庚”字只能在D点，原来D点的“金”字只能在C点，否则没有字在C点，同理，“杯”在F点，“赛”在E点②“罗”在C点，那么原来C点的“庚”字只能在D点，原来D点的“庚”字只能在E点，以此类推，得到如图所示的情况（2）“华”字在F点，很明显和上面的为对称的情况，所以也是2种情形综上所述，一共有4种摆放方法。9.平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成n个交点则n有多少个不同的数值？【考点】直线与交点【专题】几何【难度】☆☆☆【解析】这道题目需要亲手画一遍才能知道多少交点0交点（全平行）1交点2交点：不存在的3交点：不存在的4交点5交点6交点7交点8交点9交点10交点所以n一共有9个不同的数值。10.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果,用作课间加餐。每名学生至少选择一种,也可以多选.统计结果显示：70%的学生选择苹果,40%的学生选了香蕉,30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.【考点】分数，最值问题【专题】杂题【难度】☆☆【解析】假设三种水果都选的学生占总数的a（a为百分数）要让a为最大，那么肯定没有只选2种水果的学生，所以全校的学生人数表示为：70%-a+40%-a+30%-a+a=1a=20%11.箱子里面有两种珠子,一种每个19克,另一种每个17克,所有珠子的重量为2017克,求两种珠子的数量和所有可能的值.【考点】分数，最值问题【专题】杂题【难度】☆☆【解析】假设19克的珠子有m个，17个的珠子有n个，满足质量之和为2017克：19m+17n=201717m+2m+17n=201717(m+n)+2m=2017计算2017÷17=118……11要满足11+17k=2m且m≤118满足的情况有k=1m=14m+n=118-1=117K=3m=31m+n=118-3=115K=5m=48m+n=118-5=113K=7m=65m+n=118-7=111K=9m=82m+n=118-9=109K=11m=99m+n=118-11=107K=13m=116m+n=118-13=105不满足12.使3251nn不为最简分数的三位数n之和等于多少.【考点】分数，最大公因数【专题】数论【难度】☆☆【解析】要让3251nn不为最简分数，则3n+2和5n+1不互质，即存在不为1的最大公因数，用辗转相除法求最大公因数：(5n+1)÷(3n+2)=1……(2n-1)(3n+2)÷(2n-1)=1……(n+3)(2n-1)÷(n+3)=1……(n-4)(n+3)÷(n-4)=1…..7要使的3n+2和5n+1存在最大公因数，那么n-4能够被7整除得到：n=7k+4n取102,109……998（129个数）求和的得到：（102+998）×129÷2=7095013.班上共有60位同学,生日记为某月某号.问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同?班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）.结果发现,在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数,那么,该班至少有多少个同学生日相同?【考点】【专题】【难度】☆☆☆☆【解析】14.将1至9填入右图的网格中,要求每个格子填一个整数,不同格子填的数字不同,且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.已知左右格子已经填有数字4和5,问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？【考点】【专题】杂题【难度】☆☆【解析】x的整数倍等于周围6个数的和，1至9除掉4、5的和为36满足的x有1,2,3,6,9，同时a+b是4的倍数，e+d是5的a+x+e是f的倍数b+x+d是c的倍数4+b+x+f是a的倍数4+a+x+c是b的倍数5+e+x+c是d的倍数5+d+x+d是e的倍数经过分类讨论：条件成立的x最大为6