南航材料力学第9讲(第4章-弯曲应力)

1材料力学2020年6月13日第四章弯曲内力（1）本章作业:4.17(b)4.17(c)4.17(f)4.18(a)4.19(a)4.19(c)4.202简单复习圆轴扭转时的变形计算公式。刚度条件。矩形截面杆受扭时截面上的应力分布。狭长矩形截面的最大应力、扭转角计算公式。3矩形截面上切应力分布T4为什么承受扭转的圆轴，实心圆轴省材料还是空心圆轴省材料？为什么？为什么工程中的圆轴通常都是实心的？开口薄壁截面与相同截面面积的闭口薄壁截面比，哪个更适宜抗扭？横截面面积相同且壁厚相同的圆管和方管，受扭时的强度和刚度哪个更大？为什么？竹子受扭时，为什么总是沿纵向开裂？闭口薄壁截面杆受扭时，如果纵向开裂，该如果处理以保证受扭时的强度和刚度？你知道软轴吗？它有什么用？52007年材料力学A卷6题3.15四分之一截面上内力系合力的大小、方向、作用点。T7题3.15解TO整圆切应力对O点之矩=？mOT由对称性，四分之一圆的切应力对O点之矩为4T8题3.15解(续)由切应力分布规律可知O切应力合力作用点必定在45°对称轴上，dA取微元dA=rddr，其上应力的合力为ddFAddpTIrrrπ24π04=dcoscosddrApTFFIrr设大小为F，则F对O点的矩必须为T/4F9题3.15解(续)π24π04=dcoscosddrApTFFIrr积分之3=23pTrI22=3πTr4π=2prI=4OTmFF由即可求得作用点的位置FF22==3π4TTFrrrF3π=82rr10题3.16内力如何平衡?1112§4.1弯曲的概念和实例工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。F1F213弯曲变形F1F2载荷垂直于杆的轴线，以弯曲变形为主的杆件轴线由直线曲线称为梁。对称弯曲若梁(1)具有纵向对称面;(2)所有外力都作用在纵向对称面内。则轴线变形后也是该对称面内的曲线。14§4.2受弯杆件的简化1支座的几种基本形式固定铰支座151支座的几种基本形式固定铰支座可动铰支座向心轴承16向心轴承向心推力轴承17几种轴承及相当的约束类型单列向心球轴承单列向心短圆柱滚子轴承单列圆锥滚子轴承18固定端约束FAxFAy2载荷的简化集中力集中力偶分布载荷3静定梁的基本形式主要研究等直梁。193静定梁的基本形式主要研究等直梁。简支梁外伸梁悬臂梁20§4.3剪力和弯矩下面求解梁弯曲时的内力。例子已知：q=20kN/m,尺寸如图。求：D截面处的内力。x求内力的方法——截面法。解：建立x坐标如图。(1)求支座反力RARAxRC取整体，受力如图。0X0AxR21(1)求支座反力取整体，受力如图。0X0AxRxRARCRAx0)(FCMkN80AR0YkN40CR(2)求D截面内力从D处截开，取左段。xRAFSD横截面上的内力如图。RAxFNMD220XNAxFR0)(FDM2/xqxxRMAD0YSDAFRqx(2)求D截面内力从D处截开，取左段。横截面上的内力如图。0xRAFSDMDFNRAxx208021080xx规律FS=截面一侧所有横向外力代数和M=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和23xRARCRAx若从D处截开，取右段。横截面上的内力如图。xRAFSDMDFNRAxRCFSDMD计算可得FSD,MD的数值与取左段所得结果相同。但从图上看，它们的方向相反。剪力和弯矩的正负号规则如何？24剪力和弯矩的正负号规定FSFS剪力使其作用的一段梁产生顺时针转动的剪力为正。弯矩使梁产生上凹(下凸)变形的弯矩为正。25§4.4剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程xRARAxRCSS()FFx弯矩方程)(xMM2/xqxxRMADSDAFRqx上例中剪力图和弯矩图FS26例4.2已知：简支梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(1)求支反力R,AFbFl需分段求解。RBFaFl(2)求剪力方程和弯矩方程分为两段：AC和CB段。AC段取x截面，左段受力如图。27需分段求解。S()FbFxl(2)求剪力方程和弯矩方程分为两段：AC和CB段。AC段取x截面，左段受力如图。FSM由平衡方程，可得:(0)xa()FbMxxl)0(axCB段x取x截面，28S()FaFxl由平衡方程，可得:()axl()()FaMxlxl)(lxaCB段取x截面，xFSM左段受力如图。(3)画剪力图和弯矩图x29(3)画剪力图和弯矩图S()FbFxl(0)xa()FbMxxl)0(axS()FaFxl()axl()()FaMxlxl)(lxa上下对齐30例4.3已知：悬臂梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(1)求支反力R,AFql为使计算简单，221qlMA(2)求剪力方程和弯矩方程取x截面，右段受力如图。31为使计算简单，(2)求剪力方程和弯矩方程取x截面，右段受力如图。FSMS()()Fxqlx由平衡方程，可得:)(xM2xl2)(21xlq)(xlq32S()()Fxqlx2)(21)(xlqxM(3)画剪力图和弯矩图FS33作剪力图和弯矩图的步骤(1)求支座反力；(2)建立坐标系(一般以梁的左端点为原)；(3)分段在载荷变化处分段；(4)列出每一段的剪力方程和弯矩方程；(5)根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。34例画内力图已知：外伸梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图.(1)求支反力kN,10ARkN5BR35(1)求支反力kN,10ARkN5BR需分段求解。(2)求剪力方程和弯矩方程分为3段：CA,AD和DB段。S()FxPCA段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得:(00.6m)xPxxM)(m)6.00(xxkN3x336CA段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得:(00.6m)xxxM3)(m)6.00(xxS()3kNFxS()AFxRPAD段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得:(0.61.2m)xPxxM)((0.61.2m)xkN767x)6.0(xRA37xS()AFxRPAD段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得:(0.61.2m)x)6.0()(xRPxxMA(0.61.2m)xkN767xDB段取x截面，右段受力如图。S()(2.4)Fxqx(1.22.4m)xx1019BR38xDB段取x截面，右段受力如图。S()(2.4)BFxqxR(1.22.4m)xx1019)4.2()(xRxMA(1.22.4m)x2)4.2(5512xx2)4.2(21xq(3)画剪力图和弯矩图39(3)画剪力图和弯矩图40§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系对图示的直梁,考察dx微段的受力与平衡。FS(x)+dFS(x)FS(x)41FS(x)+dFS(x)FS(x)考察dx微段的受力与平衡0YS()FxSS[()d()]FxFxS()dd()0qxxFxSd()()dFxqxx()0CMFC)(xMS()dFxx)](d)([xMxM2dd)(xxxqxxqd)(0042Sd()()dFxqxx0)(FCM)(xMS()dFxx)](d)([xMxM02dd)(xxxq略去高阶微量)(dxMS()dFxx0Sd()()dMxFxx还可有：)(d)(d22xqxxMFS(x)+dFS(x)FS(x)43Sd()()dFxqxxSd()()dMxFxx)(d)(d22xqxxMq(x)、FS(x)和M(x)间的微分关系(书例4.3)由微分关系可得以下结论FS44由微分关系可得以下结论(1)若q(x)=0剪力图为水平线；弯矩图为斜直线。(2)若q(x)=常数剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。(3)在剪力FS为零处,弯矩M取极值。(4)在集中力作用点：剪力图有突变，突变值即为集中力的数值，突变的方向沿着集中力的方向；弯矩图在该处为折点。45(5)在集中力偶作用点:剪力图形状无变化；弯矩图有突变，突变值为集中力偶的数值。根据微分关系作剪力图和弯矩图(1)求支反力；(2)建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)；(3)分段确定控制面；(4)求出控制面上的FS、M值；(5)根据微分关系连线，作出剪力图和弯矩图。逆时针时，向下突变;顺时针时，向上突变。46方法总结首先求出支座反力先画剪力图(如果题目不要求画剪力图，则在草稿纸上完成这一步)，后画弯矩图按从左到右的顺序，按规律逐步画出剪力图和弯矩图根据最右端的剪力和弯矩，校验结果47方法总结外力0PPqqMMFS图常数下跳上跳下降上升不变不变幅度P幅度P速率q速率qM图直线折线折线抛物线抛物线下跳上跳幅度M幅度M48其它关键信息FS过零处M有极值无集中力作用的自由端处，剪力为零；有集中力作用的自由端处，剪力为集中力值无集中力偶作用的铰链处(包括中间铰)，弯矩为零；有集中力偶作用的铰链处，弯矩为集中力偶值49例不求内力方程，画内力图已知：外伸梁如图。解：求：不解方程，并作剪力图和弯矩图.(1)求支反力kN,10ARkN5BR50(2)画剪力图和弯矩图51题4.452题4.6(习题)