DSP正弦波——数字振荡器法原理

数字振荡器的本质是，使用一个IIR（InfiniteImpulseResponse）滤波器，通过把它的极点放在单位圆上面来产生振荡。利用正弦波sinx的指数形式)(21sinjxjxeejx可以得到正弦序列x(n)的Z变换为)(21)sin(][jnwTjnwTeejTnnxX（z）=0110)()(21])([21nnjwTnjwTnnjnwTjnwTzezejzeej=jwTjwTezzezzj21=1)cos(221222wTzzzezzezjjwTjwT=1)cos(2)sin(2wTzzwTz=BAzzCz2式在|z|1时成立，且)sin(,1),cos(2wTCBwTA。这是任何一本数字信号处理教材都会给出的结论。根据Z变换的基本原理和性质，序列x[n]及其Z变换X（z）之间存在一一对应的关系，即对于给定的X（z），可以通过反Z变换，唯一地确定x[n]。因此，产生一个正弦波就等价于利用上式设计一个二阶IIR滤波器，使其系统传递函数就是正弦序列x[n]的z变换。结构的图我暂时不画了，明天再添加系统传递函数为21121)(BzAzCzBAzzCzzH滤波器的极点就是分母02BAzz的根。24)(cos4)cos(224222,1wTwTBAAP=)sin()cos(wTjwT由上式可以看出，P1,2是一对复根，其幅值为1，相角为wT。幅值为1的极点在单位圆上，对应一个数字振荡器，其振荡频率由系数A、B和C决定。因此，设计数字振荡器主要是设计这些系数。由系统函数求得差分方程)()()()(121zXCzzYBzzYAzzY设初始条件为0，对上式作反Z变换，得]1[]2[]1[][nCxnBynAyny这是一个二阶差分方程，其单位冲激响应就是sin(wT)。利用单位冲激函数x[n-1]的性质，即仅当n=1时，x[n-1]=1,代入上式n=0y[0]=Ay[-1]+By[-2]+0=0n=1y[1]=Ay[0]+By[-1]+C=Cn=2y[2]=Ay[1]+By[0]+0=Ay[1]n=3y[3]=Ay[2]+By[1]...n=ky[k]=Ay[k-1]+By[k-2]...在n2以后，y[n]可以用y[n-1]和y[n-2]算出，这是一个递归的差分方程。由此出发，就可以完成数字振荡器的设计。例如，设该振荡器的频率为F=1KHz，采样频率为Fs=10KHz，则sFFwT2=0.628（radians）,系数A=2cos(wT)=1.618033989B=-1C=sin(wT)=0.587785252由此基础上，利用之前那个公式就可以产生相应的正弦波。