七年级下求三角形角度

利用数学思想求角度题型一利用方程思想求角度1．（2019•确山期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠C的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．40°【详解】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+3x+4x＝180°，解得：x＝20°，∴∠C的度数为：80°．故选：A．2．（2019•政和校级期中）在△ABC中，∠A﹣∠C＝25°，∠B﹣∠A＝10°，∠B的度数为75度．【详解】解：∠A+∠B+∠C＝180°①，∵∠A﹣∠C＝25°，∠B﹣∠A＝10°，∴∠C＝∠A﹣25°，∠B＝10°+∠A，代入①式得∠A＝65°，故∠B＝10°+∠A＝75°．3．（2019•桃江期中）在△ABC中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝15°，求∠A、∠B、∠C的度数．【详解】解：∵∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝15°，∴∠A＝∠B+15°，∠C＝∠B﹣15°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B+15°+∠B+∠B﹣15°＝180°，∴∠B＝60°∴∠A＝∠75°，∠C＝45°．4．在△ABC中，∠A﹣∠B＝36°，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数．【详解】解：∵∠A﹣∠B＝36°，∴∠A＝36°+∠B，∵∠C＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B+∠B+∠B+36°＝180°，∴∠B＝36°，∴∠A＝∠B+36°＝72°，∠C＝2∠B＝72°5．（2019•沾化区校级月考）已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝100°．求∠BAC的度数．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠2，∵∠3+∠4+∠DAC＝180°，∴4∠2+100°＝180°，∴∠2＝20°，∴∠BAC＝∠2+∠DAC＝20°+100°＝120°．6．（2019•隆化校级期中）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别是BC、CA边上的点，且∠BAD＝30°，AD＝AE，求∠EDC的度数．【详解】解：如图，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠EDC，即∠BAD＝2∠EDC，∵∠BAD＝30°，∴∠EDC＝15°．题型二从特殊到一般7．（2019•中山区期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线并相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，∠DAE和∠BOA的度数；（2）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），请用含有α、β的代表式表示∠DAE＝12（β﹣α）．【详解】解：（1）∵∠ABC＝60°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∵AE、BF是角平分线，∴∠EAC＝∠BAE=12∠BAC＝25°，∠ABF=12∠ABC＝30°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣β，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=12（180°﹣α﹣β），∴∠DAE=12（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=12（β﹣α）．故答案为12（β﹣α）．8．（2019•费县期中）如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O．（1）当∠ABC＝60°，∠ACB＝80°时，求∠BOC的度数．（2）当∠A＝40°时，求∠BOC的度数．（3）当∠A＝x0时，求∠BOC的度数（用含x代数式表示）．【点睛】（1）先根据角平分线的性质得出∠OBC与∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；（2）先根据∠A＝40°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；（3）根据∠A＝x°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×60°＝30°，∠OCB=12∠ACB=12×80°＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣30°﹣40°＝110°；（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣40°）＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（3）在△ABC中，∠A＝x°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣x°）＝90°−12x°，∴∠BOC＝180°﹣（90°﹣x°）＝90°+12x°．9．（2019•道外区期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线交于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠BDC；（2）若AC平分∠BAD，求∠BAC的度数；【详解】（1）证明：∵∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线交于点D，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，∵∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC=12∠ACE−12∠ABC=12∠BAC，∴∠BAC＝2∠BDC；（3分）（2）如图2，过D作DF⊥AC，DH⊥BC，DG⊥BA，垂足分别是F、H、G，∵BD是∠ABC的平分线，∴DG＝DH，∵CD是∠ACE的平分线，∴DF＝DH，∴DG＝DF，DG⊥BA，DF⊥AC，∴AD平分∠GAC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD＝∠GAD，∴∠BAC+∠CAD+∠GAD＝180°，∴∠BAC＝60°；10．（2019•锦州期末）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．（1）求∠BDC的度数；（2）在图1中，过点D作DE⊥BD，垂足为点D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F（如图2），求证：BF是∠ABC的平分线．【详解】解：（1）∵△ABC中，∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，又∵∠ABM＝∠ACN＝180°，∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，又∵∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，∴∠CBD=12∠CBM，∠BCD=12∠BCN，∴△BCD中，∠DBC+∠BCD=12（∠CBM+∠BCN）=12×240°＝120°，∴∠D＝180°﹣120°＝60°；（2）如图2，∵DE⊥BD，BF∥DE，∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°，即∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴BF是∠ABC的平分线．11．（2019•中山校级期中）数学思想运用：（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，若∠A＝80°，则∠BGC＝50°，请你猜测∠BGC和∠A的数量关系：∠BGC＝90°−12∠A．（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，若∠A＝50°，则∠BIC＝115°，请你猜测∠BIC和∠A的数量关系：∠BIC＝90°+12∠A．（3）已知，如图③，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于D点，请你猜测∠D和∠A的数量关系：∠D=12∠A．若∠A＝70°，求∠D的度数（写出求解过程）．【点睛】（1）根据角平分线定义得出∠2=12∠EBC，∠3=12∠FCB，根据三角形外角性质得出∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，求出∠2+∠3=12（180°+∠A）＝90°+12∠A，根据三角形内角和定理得出∠BGC＝180°﹣（∠2+∠3），代入求出即可；（2）由∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC+∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC；（3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D的等式，再与∠A比较即可解答．【详解】解：（1）∠BGC＝90°−12∠A，理由是：∵点P是△ABC中两外角∠EBC与∠FCB平分线的交点，∴∠2=12∠EBC，∠3=12∠FCB，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∴∠2+∠3=12（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴∠BGC＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°−12∠A，∵∠A＝80°，∴∠BGC＝50°；故答案为：50°，∠BGC＝90°−12∠A；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB，＝180°−12（∠ABC+∠ACB），＝180°−12（180°﹣∠A），＝90°+12∠A，即：∠BIC＝90°+12∠A，∵∠A＝50°，∴∠BIC＝115°，故答案为：115°，∠BIC＝90°+12∠A；（3）∠D=12∠A；证明：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于D点，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），∴∠D=12∠A；∵∠A＝70°，∴∠D＝35°，故答案为：∠D=12∠A．题型三利用转化思想求角度12．（2019•普陀区校级月考）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度数；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【点睛】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；（2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．13．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【点睛】延长CD交AB于点H，根据三角形外角的性质可得∠FDE+∠E＝∠DFA，∠B+∠C＝∠1，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：延长CD交AB于点H，∵∠FDE+∠E＝∠DFA，∠B+∠C＝∠1，∠1+∠A+∠DFA＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠FDE+∠E＝180°．14．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【点睛】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数，只要求出∠D+∠1+∠2的度数，利用三角形外角性质得，∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠C；在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【详解】解：∵∠1是△AEF的外角，∴∠1＝∠A+∠E．∵∠2是△BOC的外角，∴∠2＝∠B+∠C．在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．15．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【点睛】连结BC，根据三角形的内角和定理即可证得∠D+∠E＝∠3+∠4，然后根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：连结BC，∵∠D+∠E+∠1＝∠3+∠4+∠2＝180°，又∵∠1＝∠2，∴∠D+∠E＝∠3+∠4，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠ABE+∠ACD+∠3+∠4＝∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．题型四分类讨论16．（2019•沧州期末）在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD为AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C＝60°或30°．【点睛】首先画出图形，根据三角形高的定义可得∠ADB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，然后再根据三角形内角和定理可得∠