一元一次不等式(组)题型归纳总结学生版

一元一次不等式与一元一次不等式组章末重难点题型【北师大版】【考点1不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜yB．若bx＞by，则x＞yC．若＝，则x＝yD．若mx＝my，则x＝y【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜B．由（a﹣b）x＞2，得x＞C．由bx＜a，得x＞D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【考点2由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．8x＜5x+12＜8【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48B．2x﹣（32﹣x）≥48C．2x+（32﹣x）≤48D．2x≥48【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【考点3解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：（1）求出每个不等式的解集；（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）（3）用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论）【例3】（2019秋•鹿城区校级期末）解不等式＞﹣1，并把解集在数轴上表示出来．【变式3-1】（2019春•黄州区校级期末）代数式的值不大于的值，求x的范围．【变式3-2】（2018•海淀区二模）解不等式x﹣＜，并把解集在数轴上表示出来．【变式3-3】（2019•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【考点4解一元一次不等式组】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解【例4】（2019•呼和浩特）求不等式组：的整数解．【变式4-1】（2019•黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．【变式4-2】（2019•苏州模拟）解不等式组：，并求它的整数解的和．【变式4-3】（2019春•资阳期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并求不等式组的整数解．【考点5根据不等式（组）的解集求参数】【例5】（2019春•兰州期中）已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，求a的取值范围．【变式5-1】若不等式组的解集为3≤x≤4，求不等式ax+b＜0的解集．【变式5-2】（2019春•简阳市期末）若不等式组①有解；②无解．请分别探讨a的取值范围．【变式5-3】（2019春•宁德期末）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式x＜﹣3的解都是不等式x＜﹣1的解，则x＜﹣3是x＜﹣1的蕴含不等式．（1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是；（2）若x＞﹣6是3（x﹣1）＞2x﹣m的蕴含不等式，求m的取值范围；（3）若x＜﹣2n+4是x＜2的蕴含不等式，试判新x＜﹣n+3是否是x＜2的蕴含不等式，并说明理由．【考点6利用整数解求参数】【例6】已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，求m的取值范围．【变式6-1】（2019春•耒阳市校级期末）已知关于x的不等式组的整数解有5个，求a的取值范围．【变式6-2】（2018春•金牛区校级月考）关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．【变式6-3】（2018春•东湖区校级期中）若不等式组（1）当a＝2时，解这个不等式组；（2）若这个不等式组的解集不是空集，求a的取值范围；（3）若这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，求a的取值范围．【考点7方程组的解构造不等式（组）求参数】【例7】（2019春•西城区校级期中）若二元一次方程组的解x＞y，求k的取值范围．【变式7-1】（2018春•沂源县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，则m的取值范围是什么？【变式7-2】（2018春•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【变式7-3】（2019春•德城区期末）已知关于xy的方程组的解满足x≥0，y＜1（1）求m的取值范围；（2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式2x﹣mx＞2﹣m的解集为x＜1？【考点8二元一次方程组与不等式的应用】【例8】（2019•资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【变式8-1】（2019春•杭锦后旗期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【变式8-2】（2019春•通城县期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【变式8-3】（2019春•南安市期末）泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如表所示：运行区间大人票价学生票价出发站终点站一等座二等座一等座二等座泉州福州65（元）54（元）65（元）40（元）根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元；若都买二等座动车票，则共需8820元．已知家长人数是教师人数的2倍．（1）设参加活动的老师有m人，请直接用含m的代数式表示：教师和家长都购买一等动车票所需的总费用；（2）求参加活动的教师、家长、学生各有多少人？（3）如果二等座动车票共买到x张，其中学生全部购买二等座动车票，剩余的人员买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x的最大值．【考点9利用不等式解分段计费问题】【例9】（2018春•北海期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）阶梯电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档0＜x≤180a二档180＜x≤400b三档x＞4000.95（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．【变式9-1】（2018春•黄梅县期末）“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．设某位顾客购买了x元的该种粽子．（1）补充表格，填写在“横线”上：x（单位：元）实际在甲超市的花费（单位：元）实际在乙超市的花费（单位：元）0＜x≤200xx200＜x≤300xx＞300（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？【变式9-2】（2019•宁阳县模拟）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费见价目表．例如：某居民元月份用水9吨，则应收水费2×6+4×（9﹣6）＝24元每月用水量（吨）单价不超过6吨2元/吨超过6吨，但不超过10吨的部分4元/吨超过10吨部分8元/吨（1）若该居民2月份用水12.5吨，则应收水费多少元？（2）若该居民3、4月份共用15吨水（其中4月份用水多于3月份）共收水费44元（水费按月结算），则该居民3月、4月各用水多少吨？【变式9-3】（2019秋•江汉区校级月考）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表所示是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）已知小明家2017年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨交水费91元（1）求a、b的值；（2）为了节约开支，小明家计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小明家的月收入为9200元，则小明家7月份最多能用水多少吨？【考点10一元一次不等式组与方案设计问题】【例10】（2019•德阳）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．（1）求甲、乙商品每件各多少元？（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，①最多可采购甲商品多少件？②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．【变式10-1】（2019春•随县期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进