济南大学数学物理方法期末复习2

第七章小结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题1)双曲型方程（HyperbolicEquation）：以波动方程为代表的方程它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、电磁波的传播规律．2)抛物型方程（ParabolicEquation）：以热传导方程（或输运方程）为代表的方程它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律.fuaut2fuautt2双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的,有时也称为发展方程.3）椭圆型方程（EllipticEquation）：以泊松方程为代表的方程当，即退化为拉普拉斯方程.它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）过程规律的偏微分方程.在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律．0),,(zyxf),,(zyxfu初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u|t=0=f(x)表示；初始变化（速度），用ut|t=0=g(x)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu|t=0=a+(b-a)x/L初始条件一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u|t=0=0两端固定，在c点拉开距离h：u|t=0=hx/c，0xc;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，cxL;初始速度处于静止状态：ut|t=0=0在c点受冲量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/m边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/k一维杆振动固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一维热传导恒温端u|x=0=a绝热端ux|x=0=0吸热端ux|x=0=F/k达朗贝尔公式)(|),(|,0002xuxuxuautttxxttdatxatxtxuatxatxa)()]()([),(2121分离变量流程图xxtuau20||0Lxxuu)(|0xut)()(xXtTu0)()0(LXXXXTaT/)/('20'22TwaT02XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),(txuu第八章分离变数法典型问题的求解定解问题)(|0|,0|0,002xuuuLxuautLxxxxt)()(),(tTxXtxu0)()0(0)()()0()(LXXLXtTXtT222222/)/('''XXTaTTXaTXaTXaXTTXaXT未知函数分离泛定方程分离边界条件分离分离结果0'0)()0(0222TaTLXXXX典型问题的求解)exp()(22taAtTkkk0sin)(0)0(sincos)(LDLXCXxDxCxXLkxxXkkk/,sin)(NkLkkLL,/0sin空间方程解出非零解条件非零解时间方程解出分离结果的求解0'0)()0(0222TaTLXXXX典型问题的求解xtaAtTxXtxukkkkkksin)exp()()(),(22xAxkksin)(11sin),(22kktakkkxeAtxuuk初始条件要求分离结果的合成再合成半通解系数的确定xdxxLAkLksin)(20过程小结分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数波动方程定解问题)(|),(|0|,0|0,00002xuxuuuLxuautttLxxxxtt)sin()cos(,,2,1,/),sin(2atwBatwATwkLkwwxXkkkkk)()(),(tTxXtxu0)()0(LXXXXTaT/)/(2)()(),()(xXBawxxXAxkkkkk1)()(kkkxXtTu初始条件要求未知函数分离泛定方程分离边界条件分离本征运动半通解拉普拉斯方程矩形区域定解问题未知函数分离泛定方程分离X边界条件分离分离解半通解Y边界条件要求)(|),(|0|,0|0,0,0210021xuxuuuLyLxuuLyyLxxyyxx)()(),(yYxXyxu2//YYXX)sinh()cosh(,2,1,/),sin(1yByAYkLkxXkkkkkkkk0)()0(1LXX1)()(kkkxXyYuxLBLAxxAxkkkkkkksin)]sinh()cosh([)(,sin)(22泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数,0|0xu,0|lxu,02xxttuau或,02xxtuau（0xl,t0）0||00lxxxxxx222lkk=1,2,3…xlk)21(sink=0,1,2……xlksink=1,2……,0|0xu,0|lxxu0||0'0lxxxxxx2)2)12((lkk=0,1,2,3,0|0xxu,0|lxu0||00'lxxxxxx2)2)12((lkk=0,1,2,3xlk)21(cosk=0,1,2……,0|0xxu,0|lxxu0||0'0'lxxxxxx222lkk=0,1,2,3…xlkcosk=0,1,2……)sin()cos(atwBatwATkkkkk)exp(22twaAT基本思路：定解问题：§8、2非齐次振动方程和输送方程一傅立叶级数法)(|),(|0|,0|),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：U(x,t)=0n)()(tTxXnn(2)、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式lxnxXsin)(（3）、构成满足边界条件，给出需待定)(tTn的级数解：U(x,t)=1n)()(tTxXnn=1nlxntTnsin)((4)将级数解带入偏微分方程中，且将f(x,t))(),(xx展为同样级数形式f(x,t)=1nlxntfnsin)()(x1n)(xlxnsin)(x1n)(xlxnsin)(),(xx是系数lnl02)(xlxnsindx02lnl)(xlxnsindx1n[lxntTnsin)(]sin)()(22lxntTlnan=1nlxntfnsin)(若：f(x,t)=0n()cosnnxftl001lfl()fxcosnxldx02lnfl()fxcos;0nxnldx()(5)、整理方程给出)(tTn满足的常微分方程)(tTn)()(22tTlnan=)(tfn（6）、将初始条件带入方程中，得到)(tTn的初始条件，构成关于)(tTn的本征值问题：nnnnnnTTtftTlnatT)0(',)0()()()()(22（7）、解出关于)(tTn的常微分方程，得到)(tTn形式（8）、带入u(x,y)=1n)()(tTxXnn中，得关于u(x,y)的解冲量定理法222000(,)0,00,0ttxxxxltttuaufxtuuuu定解问题),(,00,0002xfvvvvvavtlxxxxtt该定解问题可以用分离变量方法求解。tdxvtxu0),(),()(|),(|0|,0|),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt)(|),(|0|,0|00002xuxuuuuauttItIlxIxIxxIttI对定解问题可令u=uI+uII0|,0|0|,0|),(0002ttIItIIlxIIxIIxxIIttIIuuuutxfuau§8、3非齐次边界条件的处理一一般处理方法定解问题;)3)((|),(|)2)((|),(|)1(00002xuxutvutuuuautttlxxxxtt带入（2）中V(x,t)=)()]()([tuxltutv令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)则w(x,t)满足xxxxttvayxvwaw22),()()]()([1tuxtvtul,0|0xw,0|lxw)0()]0()0([1)(|)(|00uxvulxvxwtt)0(')]0(')0('[1)(|)(|00uxvulxvxwtttt令v(x,y)满足非齐次边界条件中则可设形式为;v（x,t）=A(t)x+B(t)(4))(|),(|)(|),(|),(0002xuxutvutuutxfuautttlxxxxtt小结:(1)边界条件化为齐次V(x,t)=)()]()([tuxltutv令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)),(),(2txgvyxfwawttxxtt,0|0xw,0|lxw)(|)(|00xvxwtt)(|)(|00xvxwttttψ（2）化成两个简单的定解问题)(|),(|0|,0|00002xwx可令w=wI+wII0|,0|0|,0|),(0002ttIItIIlxIIxIIxxIIttII]')([22uurrrr0)1()''(2RllRr)1(/'/)''(2llYYRRr0)1('YllY11llrDCrR/sin)1(/)''(sinsin2ll00]sin)1([)''(sinsin2ll0])1([]'')1[(2212xmllxmBmAsincos),()(YrRu)()(Ycosx欧拉方程连带勒让德方程球函数方程第九章二阶常微分方程级数解法轴对称情况0]')([22uurrrr0)1()''(2RllRr)1(/'/)''(2llYYRRr0)1('YllY1llDrCrR0sin)1(/)''(sinsin2ll0)1(]'')1[(2llx)()(YrRu)(Ycosx勒让德方程波动方程uautt20''22TkaT22/)/(''kvvTaT02vkvDtCDeCekatDkatCTiaktiakt或或sincos)()(rvtTu亥姆霍兹方程输运方程uaut220'22TkaT222/)/('kvvTaT022vkv)exp(22tkaAT)()(rvtTu球坐标下亥姆霍兹方