数学物理方法

数学物理方法2016/2-6•什么是数学物理方法•需要的基础知识:微积分,ODE•学习方法(总结各种方法的优缺点)CH1典型方程的定解问题1)数学模型的建立2)定解问题3)线性PDE1)数学模型的建立•弦振动方程与波动方程•热传导方程•稳态方程•设一根均匀柔软细弦,平衡时沿直线拉紧,在外力作用下让其做微小的横振动,研究其振动规律.•方程的推广(空气阻力,弹性阻力,外力)•高维情形(鼓振动,声波,电磁波)•设绝热管中充满不流动的液体,考虑液体的温度关于空间和时间的变换规律.•方程的推广(热源,热汇)•高维情形(导热体)•稳态方程,拉普拉斯方程(平衡态,与时间无关)•方程的推广(泊松方程)2)定解问题•定解条件•具体的定解问题•为什么需要定解条件•定解条件有哪些•如何得到定解条件•具体的定解问题及其物理含义3)线性方程•线性算子,线性方程的定义•叠加原理•简单二阶线性PDE的分类•什么是线性方程•齐次/非齐次方程•齐次/非齐次边界条件•两个叠加原理•非齐次问题的线性拆分•二阶线性PDE的形式•为什么要对其分类•通过具体例子学习如何对其分类(两个变量,多个变量)1112221202121122:20:0,00,0,0.xxxyyyxyxxyyxxxxyyauauauauauauaaauuuuu两个变量的情况根据-的符号,分三种情况椭圆型抛物型,0双曲型.做适当的变量代换后可化为标准型::1)502)412903)4690xxxyxxxyyyyxxxyyyuuuuuuuuu将下列方程分类CH2FOURIER级数方法1)FOURER级数及其收敛性2)齐次方程,齐次边界条件的解法(分离变量法)3)特征值问题(特征函数展开法)4)非齐次方程(齐次化原理)5)非齐次边界条件6)物理意义,共振现象1)Fourer级数及其收敛性•Fourier级数,Euler-Fourier系数•点点收敛•平方可积空间中的收敛性•函数系在平方可积空间中的完备性2)齐次方程,齐次边界条件的解法(分离变量法)1.,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(),0.:B.C.Neumann?txxukuxltutulttuxxxl例推广改为齐次边界条件呢22.,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(),(,0)(),0.ttxxtuauxltutulttuxxuxxxl例3.0,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(),(,)(),0.xxyyuuxaybuyuayybuxxuxbxxa例4.0,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)1,(,)0,0.xxyyuuxayuyuayyxuxuxxaa例5.():0,0,,,0,0,,0,(,,0)(,),.txxyyDxyuuuinDtuonDtuxyxyinD例高维问题设6.:0,0,0,0,,..(,,)(,),(0,,)(,0,)(,,)(,,0)(,,)0.xxyyzzDxyzuuuinDBCuyzgyzuyzuxzuxzuxyuxy例设7.():01,01,01,0,,..(,,1)(,),Neumann.xxyyzzzDxyzuuuinDBCuxygxy例练习设其它五个面上均为齐次边界条件2228.():,0,,(),.xxyyDxyauuinDuhonD例圆上的Laplace方程设9.():0,0.0,,0,0,,(),.xxyyrDrauuinDuonuhonra例扇形域设2222210.():,0,,(),,,xxyyDxyauuinDuhonDxyu例圆外区域的Laplace方程设当时有界.222211.():,0,,,,,.,.xxyyrDaxybuuinDuAonrauBonrbAB例圆环上的Laplace方程设其中为常数3)特征值问题•特征值问题的简单算例•一般的Sturm-Liouville问题的结论•特征函数展开法11.''0,0,(0)'()0.uuxluul例12.''0,0,(0)0,'()()0.0.uuxluulul例其中为常数13.''0,0,(0)(),'(0)'().uuxluuluul例2''0(0)()0,/,1,2,sinkkXXXXlklkXx212''0(0)'()0,()/,0,1,2,sinkkXXXXlklkXx212''0'(0)()0,()/,0,1,2,coskkXXXXlklkXx2''0'(0)'()0,/,0,1,2,coskkXXXXlklkXx常用特征问题齐次边界条件:,.()kkkTCCTC线性代数中有类似的问题和结论可以借鉴.如果设线性变换是自共轭的则的特征向量构成的正交基完备正交这里的正交是在共轭内积为零.2(0,)?Ll请问以上的特征函数系在上完备正交吗222::(,)(,),,(,),,,,.TLabLabfgLabTfgfTgT自共轭算子的定义设则称是自共轭算子2''',[,],,,[,],0,?LfrfqfpfxabrqpCabrL设算子其中是实函数试问什么情况下是自共轭算子**,,[('')(')],()''()'''(2')'(''').baLfgfLgrfgfgqrfgLgrgqgpgrgrqgrqpg其中::2''(')'.,,[('')]barqqqrLfrfpfLfgfLgrfgfg自共轭要求所以还需要结合边界条件来验证.12121212()'()0,()'()0,(,)(0,0),(,)(0,0)fafafbfb()()0,'()'()0()()fafbfafbrarb且2:(')'.:0,,..(),(,).LfrfpfLffaxbBCLLab结论设考虑特征值问题端点分离式则算子是自共轭的且该问题的特征值都是实数,每个特征值都是单重的,所有特征函数构成的一组正交基12121212()'()0,()'()0,(,)(0,0),(,)(0,0):.54,().fafafbfbPchi注可用变分法证明本结论陈祖墀14.()0,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(),0.:?txxukuxltutulttuxxxl例特征函数展开法推广方程改为非齐次方程呢15.()cos2,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)1,0.txxxxukuxxtututtuxx例练习16.()0,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)32cos3,0,(,0)1coscos3,0.ttxxxxtuuxtututtuxxxuxxxx例练习4)非齐次方程•特征函数展开法求解非齐次问题•非齐次ODE的解法(欧拉待定函数法,常数变易法,齐次化原理)•非齐次PDE的齐次化原理(热方程,波动方程)复习:二阶常系数非齐次ODE特解的求法)('''xfcybyay(1).[待定函数法]f(x)具有特殊形式时,上述方程特解的求法.这里的特殊形式是指:f(x)是指数函数、正弦函数、余弦函数、多项式,或这些函数的某种组合.(2)[常数变易法]将齐次方程通解中的常数变为函数代入。201(1)''',(2)'''sin,(3)'''.,(1);,(1),;,(1),......,:xnxxxxnxAeAeAxaybycyeaybycyxaybycykkeAxeAxexkx若不是特征方程的根则有形式为若是单重特种根则没有这样的解但有这种形式的解若是二重特征根则无这种形式的解但有形式的解结论(2)(4)'''(),(5)'''()cos.:'''(),(4),,(4)();,(4)();,(4)(:.).:xnxnxnxnxnixnQxexQxexQxeaybycyPxeaybycyPxexaybycyPxey若不是特征根则有形如的解若是单重特征根则有形如的解若是二重考虑方程属于类型再利用下面的注解就可得出方程的解特征根则有形如的解注若结论12121212''',''''''.(6)yiyaybycyfifyyaybycyfaybycyf是的解，则分别是和的解非齐次项是上述各种函数叠加的情况()()()():()(,),,,'()(,).(2)()(,),,,',','()(,)((),)'()((),)'().bbttaabttatbttatItfxtdxffCItfxtdxHtfxtdxffabCHtfxtdxfbttbtfattat积分号下求导(1)设则设则()(,,)(,),()(,(),())'()'()'().batabgtabfxtdxHtgtatbtHtggatgbt证明:(1)根据导数定义可得.2设则0.'()().(0)ypxyqxyy齐次化原理的思路0'()0'()(),(I),(II)(0)(0)0vpxvupxuqxvyu'()0.(0;)()wpxwwsqs0()(;)()xpdwxsqse0()(;).xuxwxssds利用已有结论猜测•证明上述猜测的结论(一阶ODE)•推广到二阶ODE初值问题•推广到热方程•推广到波动方程5)非齐次边界条件•构造满足非齐次边界条件的辅助函数•特殊情况下,可将PDE和B.C.同时齐次化212.(,),0,0,(0,)(),(,)(),0,(,0)(),(,0)(),0..ttxxtuaufxtxltututultuttuxxuxxxl例17推广到其它类型的边界条件2.,0,0,(0,)0,(,),0,(,0)(,0)0,0.,.ttxxtuauAxltutultBtuxuxxlAB例18其中都是常数6)物理意义,共振现象•以弦振动方程为例说明分离变量法的物理意义•共振现象2.()sin,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(,0)0,0.ttxxtuaufxtxltutulttuxuxxl例19用特征函数展开法化为ODE问题:20''()()sin,(),sin.nnytytftyttft0表示时刻的振幅,为固有频率是施加的周期外力2000220'',.:,,,.考虑特解当时itnitnyyfefyAeAA22sin,0,0,(0,),(,)sin,0,(,0)0,(,0),0.ttxxtxuautxltluttultttuxuxxl()PDE:复习题1求解下列非齐次问题2(2).,0,0;(0,)(,)0,0;(,0),(,0)cos,0.ttxxxxtuauxtututtuxxuxxx求下列问题的级数形式的解，2(3).,0,0;(0,)(,)0,0;(,0)(),(,0)(),0