探究含绝对值函数问题

16/13/2020探究含绝对值函数问题1．（常州13届高三期末调研）已知函数()lnfxxxax.(1)若a=1,求函数()fx在区间[1,]e的最大值;(2)求函数()fx的单调区间;(3)若()0fx恒成立,求a的取值范围.【答案】解:(1)若a=1,则()1lnfxxxx.当[1,]xe时,2()lnfxxxx,2'121()210xxfxxxx,所以()fx在[1,]e上单调增,2max()()1fxfeee(2)由于()lnfxxxax,(0,)x.(ⅰ)当0a时,则2()lnfxxaxx,2'121()2xaxfxxaxx,令'()0fx,得20804aax(负根舍去),且当0(0,)xx时,'()0fx;当0(,)xx时,'()0fx,所以()fx在28(0,)4aa上单调减,在28(,)4aa上单调增(ⅱ)当0a时,①当xa时,2'121()2xaxfxxaxx,令'()0fx,得2184aax(284aaxa舍),若284aaa,即1a,则'()0fx,所以()fx在(,)a上单调增;若284aaa,即01a,则当1(0,)xx时,'()0fx;当1(,)xx26/13/2020时,'()0fx,所以()fx在区间28(0,)4aa上是单调减,在28(,)4aa上单调增②当0xa时,2'121()2xaxfxxaxx,令'()0fx,得2210xax,记28a,若280a,即022a,则'()0fx,故()fx在(0,)a上单调减;若280a,即22a,则由'()0fx得2384aax,2484aax且340xxa,当3(0,)xx时,'()0fx;当34(,)xxx时,'()0fx;当4(,)xx时,'()0fx,所以()fx在区间28(0,)4aa上是单调减,在2288(,)44aaaa上单调增;在28(,)4aa上单调减综上所述,当1a时,()fx单调递减区间是28(0,)4aa,()fx单调递增区间是28(,)4aa;当122a时,()fx单调递减区间是(0,)a,()fx单调的递增区间是(,)a;当22a时,()fx单调递减区间是(0,284aa)和28(,)4aaa,()fx单调的递增区间是2288(,)44aaaa和(,)a(3)函数()fx的定义域为(0,)x.由()0fx,得lnxxax.*36/13/2020(ⅰ)当(0,1)x时,0xa≥,ln0xx,不等式*恒成立,所以Ra;(ⅱ)当1x时,10a≥,ln0xx,所以1a;(ⅲ)当1x时,不等式*恒成立等价于lnxaxx恒成立或lnxaxx恒成立.令ln()xhxxx,则221ln()xxhxx.因为1x,所以()0hx,从而()1hx.因为lnxaxx恒成立等价于min(())ahx,所以1a≤.令ln()xgxxx,则221ln()xxgxx.再令2()1lnexxx,则1()20exxx在(1,)x上恒成立,()ex在(1,)x上无最大值.综上所述,满足条件的a的取值范围是(,1)1．（2013苏锡常镇四市高三调研（二））已知a为正的常数,函数2()lnfxaxxx.(1)若2a,求函数()fx的单调增区间;(2)设()()fxgxx,求函数()gx在区间1,e上的最小值.【答案】46/13/202056/13/2020（2010全国卷1理数）(15)直线1y与曲线2yxxa有四个交点，则a的取值范围是.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数1ln)1()(2axxaxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围。解：（Ⅰ）()fx的定义域为（0，+∞）.2121'()2aaxafxaxxx.当0a时，'()fx＞0，故()fx在（0，+∞）单调增加；当1a时，'()fx＜0，故()fx在（0，+∞）单调减少；当-1＜a＜0时，令'()fx=0，解得12axa.则当1(0,)2axa时，'()fx＞0；1(,)2axa时，'()fx＜0.故()fx在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少.（Ⅱ）不妨假设12xx，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而12,(0,)xx，1212()()4fxfxxx等价于12,(0,)xx，2211()4()4fxxfxx①66/13/2020令()()4gxfxx，则1'()24agxaxx①等价于()gx在（0，+∞）单调减少，即1240aaxx.从而22222241(21)42(21)2212121xxxxaxxx故a的取值范围为（-∞，-2].……12分课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷]已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图像与函数y＝|lgx|的图像的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷]A【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．