专题训练6-因式分解及应用

初二数学八年级（上）专题训练第1页（共5页）专题6因式分解及应用一．选择题1．已知a为任意整数，且（a+13）2﹣a2的值总可以被n（n为自然数，且n≠1）整除，则n的值为（）A．13B．26C．13或26D．13的倍数2．若x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（）A．x=4yB．y=4xC．x=12yD．y=12x3．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x4+x3+x﹣5的值为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．6二．填空题4．已知x﹣2y+2=0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为．5．已知a2+b2+2c2+2ac﹣2bc=0，则a+b等于．6．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．三．解答题7．因式分解（1）4a2﹣25b2（2）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4（3）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）（4）（x2+4）2﹣16x2．8．如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（b＜）的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积．9．利用因式分解说明3200﹣4×3199+10×3198能被7整除．初二数学八年级（上）专题训练第2页（共5页）10．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x=﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2=0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x=时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知识运用：若y=﹣x2+2x﹣3，当x=时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值．11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．初二数学八年级（上）专题训练第3页（共5页）12．先阅读材料，再回答问题：材料：分解因式：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2，再将“A”还原，原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学中常用的一种思想，你能用整体思想回答下列问题吗？问题：（1）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）+4．（2）求证：若n为正整数，则代数式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．*13．先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题．例：若多项式2x3﹣x2+m分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m的值．解：设2x3﹣x2+m=（2x+1）•A（A为整数）若2x3﹣x2+m=（2x+1）•A=0，则2x+1=0或A=0由2x+1=0得x=﹣则x=﹣是方程2x3﹣x2+m=0的解所以2×（﹣）3﹣（﹣）2+m=0，即﹣﹣+m=0，所以m=问题：（1）若多项式x2+px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数P=；（2）若多项式x3+5x2+7x+q分解因式的结果中有因式x+1，求实数q的值；（3）若多项式x4+mx3+nx﹣16分解因式的结果中有因式（x﹣1）和（x﹣2），求实数m、n的值．*14．已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…（1）你能根据此推测出264的个位数字是多少？（2）根据上面的结论，结合计算，试说明（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的个位数字是多少？初二数学八年级（上）专题训练第4页（共5页）专题6参考答案与试题解析1．A．2．A．3．A．二．填空题4．解：∵x﹣2y+2=0，∴x﹣2y=﹣2，∴x2+y2﹣xy﹣1，=（x2﹣4xy+4y2）﹣1，=（x﹣2y）2﹣1，=×（﹣2）2﹣1，=1﹣1，=0，即x2+y2﹣xy﹣1=0．5．解：a2+b2+2c2+2ac﹣2bc=（a2+2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）=（a+c）2+（b﹣c）2=0，∴a+c=0，b﹣c=0，解得：a+b=0．6．解：∵m2=n+2，n2=m+2（m≠n），∴m2﹣n2=n﹣m，∵m≠n，∴m+n=﹣1，∴原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2（m+n）=﹣2．三．解答题（共8小题）7．解：（1）原式=（2a+5b）（2a﹣5b）；（2）原式=﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）=﹣3xy2（x﹣y）2；（3）原式=3x（a﹣b）+6y（a﹣b）=3（a﹣b）（x+2y）；（4）原式=（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）=（x+2）2（x﹣2）2．8．解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=20×6.4=128（cm2）．9．解：∵原式=3198•32﹣4×3×3198+10×3198=3198×（9﹣12+10）=3198×7，∴3200﹣4×3199+10×3198能被7整除．10．解：（1）∵x2﹣6x+12=（x﹣3）2+3，∴当x=3时，有最小值3；（2）∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∴当x=1时有最大值﹣2；（3）∵﹣x2+3x+y+5=0，∴x+y=x2﹣2x﹣5=（x﹣1）2﹣6，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，∴当x=1时，y+x的最小值为﹣6．11．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，∴x﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，∴a﹣5=0，b﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，初二数学八年级（上）专题训练第5页（共5页）∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，∴a﹣4=0，c﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c的值是8．12．【解答】解：（1）设x2+px﹣6=（x﹣3）•A（A为整数），若x2+px﹣6=（x﹣3）•A=0，则x﹣3=0或A=0，由x﹣3=0得，x=3，则x=3是方程x2+px﹣6=0的解，∴32+3p﹣6=0，解得p=﹣1；（2）设x3+5x2+7x+q=（x+1）•B（B为整式），若x3+5x2+7x+q=（x+1）•B=0，则x+1=0或B=0，由x+1=0得，x=﹣1，则x=﹣1是方程x3+5x2+7x+q=0的解，∴（﹣1）3+5×（﹣1）2+7×（﹣1）+q=0，即﹣1+5﹣7+q=0，解得q=3；（3）设x4+mx3+nx﹣16=（x﹣1）（x﹣2）•C（C为整式），若x4+mx3+nx﹣16=（x﹣1）（x﹣2）•C=0，则x﹣1=0，x﹣2=0，C=0，由x﹣1=0，x﹣2=0得，x=1，x=2，即x=1，x=2是方程x4+mx3+nx﹣16=0的解，∴14+m•13+n•1﹣16=0，24+m•23+n•2﹣16=0，即m+n=15①，4m+n=0②，①②联立解得m=﹣5，n=20，故答案为：（1）p=﹣1，（2）q=3，（3）m=﹣5，n=20．13．解：（1）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故原式（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．14．解：（1）∵264=（24）16，∴264的个位数字是6；（2）∵（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）…=（232﹣1）（232+1）=264﹣1，∴（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的个位数字是5．