(甘志国)蒙日圆及其证明

实用标准文档文案大全蒙日圆及其证明甘志国(已发表于河北理科教学研究，2015(5)：11-13)高考题(2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(5,0)，离心率为53．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点00(,)Pxy为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．答案：(1)22194xy；(2)2213xy．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理1曲线1:2222byax的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆2222bayx.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是),(ba，或),(ba.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是,)(,(000axyx且)0by，所以可设曲线的过点P的切线方程是)0)((00kxxkyy.由)(1002222xxkyybyax，得0)()(2)(2220020022222baykxaxykxkaxbka由其判别式的值为0，得)0(02)(220220002220axbykyxkax因为PBPAkk,是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以实用标准文档文案大全220220axbykkPBPA由此，得2220201bayxkkPBPA进而可得欲证成立.定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是),(ba，或),(ba.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是,)(,(000axyx且)0by，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211yyxxyxByxA.得直线1:2020byyaxxAB，切线1:,1:22222121byyaxxPBbyyaxxPA.所以：2121221121421422221212,xxyyxyxykkyyaxxbyaxbyaxbkkOBOAPBPAPBPAOBOAkkabkk44因为点)2,1)(,(iyxii既在曲线1:2222byax上又在直线1:2020byyaxxAB上，所以220202222byyaxxbyaxii0)(2)(2204002222204axbxyyxbaxybyaiiii所以PBPAOBOAkkabbyaaxbxxyykk44220422042121)()(220220axbykkPBPA由此，可得222020bayxPBPA进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1(椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).实用标准文档文案大全图1证明如图2所示，设P为椭圆(其左、右焦点分别是21,FF)上任意给定的点，过点P作21PFF的外角平分线所在的直线)43(l.先证明l和相切于点P，只要证明l上异于P的点P都在椭圆的外部，即证2121PFPFFPFP：图2在直线1PF上选取点F，使2PFFP，得FPP≌2PFP，所以2FPFP，还得2111121PFPFFPPFFFFPFPFPFP再过点P作21PFF的平分线(12)PA，易得lPA，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2过椭圆(其中心是点O，长半轴长是a)的任一焦点F作椭圆的任意切线l的垂线，设垂足是H，则aOH.证明如图3所示，设点FF,分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的切线l上的切点，又设直线AFFH,交于点B.实用标准文档文案大全图3由引理1，得BAHFlAFAH(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH≌BAH，所以点H是FB的中点，得OH是FBF的中位线.又ABAF，所以aAFAFABAFOH)(21)(21.引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明由余弦定理可证(这里略去过程).引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则2222PDPBPCPA.证明如图4所示，设矩形ABCD的中心是点O．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PDPBOPOBOPOAPCPA即欲证成立．注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3可不妨设0,0ba.当ba时，易证成立.下面只证明ba的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是21,FF，焦距是c2，过动点P的两条切线分别是PNPM,.实用标准文档文案大全图5连结OP，作PNOHPMOG,，垂足分别是HG,.过点1F作PMDF1，垂足为D，由引理2得aOD.再作OGKF1于K.记KOF1，得cos1cKFDG.由RtODG，得222222coscaDGODOG.又作OHLFPNEF22,，垂足分别为LE,.在RtOEH中，同理可得222222sincaHEOEOH.(1)若PNPM，得矩形OGPH，所以22222222222)sin()cos(bacacaOHOGOP(2)若222baOP，得222222222)sin()cos(OHOGcacaOP由PMOG，得222GPOGOP，所以OHGP.同理，有HPOG，所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩形，所以PNPM.由(1),(2)得点P的轨迹方程是2222bayx.定理1的证法4可不妨设0,0ba.当ba时，易证成立.下面只证明ba的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是21,FF，焦距是c2，过动点P的两条切线分别是PBPA,，两切点分别为BA,.实用标准文档文案大全分别作右焦点2F关于切线PBPA,的对称点NM,，由椭圆的光学性质可得三点MAF,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点NBF,,1共线.图6由椭圆的定义，得aBFBFNFaAFAFMF2,2211211，所以11NFMF.由O是21FF的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OPcOPOFPFPFPMPF(1)若PBPA，得180)(22211BPFAPFNPFMPF，即三点NPM,,共线.又PNPFPM2，所以MNPF1，进而得)(2422221212OPcPMPFMFa222baOP(2)若222baOP，得212222222214)(2)(2MFabacOPcPMPF所以PMPF1.实用标准文档文案大全同理，可得PNPF1.所以三点NPM,,共线.得90)(212222NPFMPFBPFAPFAPB，即PBPA.由(1),(2)得点P的轨迹方程是2222bayx.定理1的证法5(该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0ba.当ba时，易证成立.下面只证明ba的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是21,FF，焦距是c2，过动点P的两条切线分别是PBPA,，切点分别是BA,.设点1F关于直线PBPA,的对称点分别为21,FF，直线11FF与切线PA交于点G，直线21FF与切线PB交于点H.图7得1211,BFBFAFAF，再由椭圆的定义，得aFFFF22221，所以aOHOG.因为四边形HPGF1为矩形，所以由引理4得2222212aOHOGOPOF，所以222baOP，得点P的轨迹方程是2222bayx.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理2(1)双曲线)0(12222babyax的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222bayx；(2)抛物线pxy22的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3(1)椭圆)0(12222babyax的两条斜率之积是22ab的切线交点的轨迹方实用标准文档文案大全程是22222byax；(2)双曲线)0,0(12222babyax的两条斜率之积是22ab的切线交点的轨迹方程是22222byax.定理4过椭圆)0(22222babyax上任一点),(00yxP作椭圆12222byax的两条切线，则(1)当ax0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当ax0时，所作的两条切线斜率之积是22ab.定理5(1)椭圆)0(12222babyax的两条斜率之积是)0(的切线交点的轨迹是：①当1时，即圆2222bayx(但要去掉四个点),(),,(baba)；②当0且1时，即椭圆1222222abybax(但要去掉四个点),(),,(baba)；③当22ab时，即两条直线xaby在椭圆)0(12222babyax外的部分(但要去掉四个点),(),,(baba)；④当220ab时，即双曲线1222222abxaby在椭圆)0(12222babyax外的部分(但要去掉四个点),(),,(baba)；⑤当22ab时，即双曲线1222222baybax在椭圆)0(12222babyax外实用标准文档文案大全的部分(但要去掉四个点),(),,(baba).(2)双曲线)0(12222babyax的两条斜率之积是)0(的切线交点的轨迹是：①当1时，即圆2222bayx；②当0时，即双曲线1222222baybax；③当1或221ab时，即椭圆1222222baybax；④当022ab时，不存在.(3)抛物线pxy22的两条斜率之积是)0(的切线交点的轨迹是：①当0时，即直线2px；②当0时，的方程为pypx2.例(北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1Oxy.若直线2ykx上总存在点P，使得过点P的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_________.解(,1][1,).在图8中，若小圆(其圆心为点O，半径为r)的过点A的两条切线ADAB,互相垂直(切点分别为FE,)，得正方形AEOF，所以rOEOA22，即点A的轨迹是以点O为圆心，r2为半径的圆.实用标准文档文案大全图8由此结论可得：在本题中，点P在圆222xy上.所以本题的题意即直线2ykx与圆222xy有公共点，进而可得答案.注本题的一般情形就是蒙日圆.