与圆有关的最值问题K

与圆有关的最值问题一：圆上一点到直线距离的最值问题二：抓住所求式的几何意义求最值三：向函数问题转化四：向基本不等式转化类型一：圆上一点到直线距离的最值问题xyOCPQ221PQPCr最大值为的最小值为则上任一点，：为圆上任一点，为直线：已知例|PQ|1)3(1122yxCQxyP221PQPCrMN的最小值为则上任一点，：为圆，，，：已知变式QABSyxCQBA1)3(),32()10(122xyOCBQA122(221)422QABQQSABhhV则切线长的最小值为引切线，：上一点向圆：由直线变式1)3(1222yxCxyxyOCPA22221PAPCrPCmin22PCmin7PA最大。为何值时，则当为切点，、的切线：作圆上一动点，过点为直线：已知变式APBPCBAPBPAyxCPxyP,,1)3(1322xyOCPABAPBAPC1sinAPCPCmin22PC22PCAPB时，最大。xyOCPAB1222PACPBCPACSSSSPAACPA四边形PACB由变式2可知，min7PA7故四边形PACB面积的最小值为值为面积的最小为切点，则四边形、，的切线：作圆过上一动点，为直线已知：变式PACBBAPBPAyxCPxyP,1)3(14221222PACPABPABSSSSPAACPA四边形PACB方法小结化为直线的距离的最值可转总结：求圆上动点到定求圆心到定直线的距离上点与直线的若直线与圆相离，则圆rdd/max最大距离rdd/min最小距离离）表示圆心到定直线的距（其中/d类型二：抓住所求式的几何意义求最值|1|)4()1()2)(3(21)2(2)1(,0342,22222yxyxxyyxyxyxyx求下列各式的最值：满足：若实数例xyOCyxyxyxyx2)1(,042,222求下列各式的最值：满足：若实数例由题意，当直线的纵截距最小时，2xyz解：令则1122yxzz最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离555zd010z故或由题意，即x-2y的最大值为0．max0zmin10z即x-2y的最大值为-10．xyOC21)2(,042,222xyyxyxyx求下列各式的最值：满足：若实数例·A1[2,)(,]2k2222)1()2)(3(,042,2yxyxyxyx求下列各式的最值：满足：若实数例xyOC·A50215,5021522,2430,(4)|1|xyxyxyxy例2：若实数满足求下列各式的最值：xyOC1[410,410]xy①形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；axby②形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；byaxt③形如形式的最值问题，可转化为圆心动点到定点距离平方的最值问题；22)()(byaxm方法小结类型三：向函数问题转化221xy例3（2010全国理科）已知圆O：，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则的最小值为221xyPAPBPABOcos2PAPBPAPB1tanPAPB，，，2((0,))2APB解：令222222cos2coscos2(1sin)(12sin)tansinsinPAPB2sin(0)tt令(1)(12)123223ttPAPBttt则22t22sin2（当且仅当，即时取等号）222222cos2coscos2(1sin)(12sin)tansinsinPAPB222222cos2coscos2(1sin)(12sin)tansinsinPAPB(1)(12)123223ttPAPBttt则类型四：向基本不等式转化面积的最大值。求四边形的最大值两点，、与交圆两点，、与交圆，线做两条相互垂直的直过点：已知圆：例EGFHGHEFHGClFEClllAyxC)2()1(,)0,1(,4)2(4212122CAEFGHxyOMN解：（1）令圆心C到弦EF的距离为d1,到弦GH的距离为d2则EF+GH22122(44)dd222121ddCA又22221212448()81142222dddd由1222dd（当且仅当，时取等号）则EF+GH812142（2）∵EFGH∴221212442SEFGHdd四边形EFGH22128()272dd1222dd（当且仅当，时取等号）圆的最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法.1.几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形来解决,这就是2.代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.小结作业：已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．【解答】(1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0，∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a.∴圆心为C(－a，a)，半径为r＝2a.设直线l被圆C所截得的弦长为2t，圆心C到直线l的距离为d.m＝4时，直线l：x－y＋4＝0，圆心C到直线l的距离d＝|－a－a＋4|2＝2|a－2|，t2＝(2a)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10.∴当a＝3时，直线l被圆C所截得弦长的最大值为210.(2)圆心C到直线l的距离d＝|－a－a＋m|2＝|m－2a|2，∵直线l是圆C的切线，∴d＝r，即|m－2a|2＝2a.∴m＝2a±22a.∵直线l在圆C的下方，∴m＝2a－22a＝(2a－1)2－1.∵a∈(0,4]，∴m∈－1，8－42.的坐标。取得最小值的点使得，求为坐标原点，且有引一条切线，切点为向该圆外一点从圆：已知圆：例PPMPOPMOMyxPCyxyxC,),(,0342222xyOCP