数学建模典型例题(二)

16小行星的轨道模型问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1坐标数据x1x2x3x4x5X坐标5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y坐标0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221yaxayaxyaxa.问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）,（x4,y4）,（x5,y5）.由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221yaxayaxyaxa.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得.1222122212221222122255542535522514544243442241353423333223125242232222211514213112211yaxayayxaxa，yaxayayxaxa，yaxayayxaxa，yaxayayxaxa，yaxayayxaxa这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵211111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121aaaaayxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxx求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222bYaX由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a和短半轴b计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L.根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:.02221CDYX所以,椭圆长半轴:CDa1;椭圆短半轴:CDb2;椭圆半焦矩:22bac.计算求解首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得).2165.0,6351.1,6942.0,3440.0,6143.0(),,,,(54321aaaaa从而6942.03440.03440.06143.03221aaaaCCC,3081.0的特征值.0005.1,3080.0213.12165.06351.12165.06942.03440.06351.13440.06143.0154532321aaaaaaaaD.8203.1D于是,椭圆长半轴1834.19a,短半轴9045.5b,半焦距2521.18c.小行星近日点距和远日点距为.4355.37,039313caHcah最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7人口迁移的动态分析问题对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?解设开始时,令乡村人口为,0y城镇人口为,0z一年以后有乡村人口,10011000975100yzy城镇人口,10099100025100zzy或写成矩阵形式00111009910002510011000975zyzy.两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122zyzyzy.十年以后,有.100991000251001100097500101010zyzy4事实上,它给出了一个差分方程:kkAuu1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975Ak年之后的分布(将A对角化):.75757275100200193115210000zyzyAzykkkk这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00zyzy总人口仍是00zy,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y和0z也是非负的,从而1y和21,yz和2z等等也是这样.8常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A和a控制.基因对是AA和Aa的人,眼睛是棕色,基因对是aa的人,眼睛为蓝色.由于AA和Aa都表示了同一外部特征,或认为基因A支配a,也可认为基因a对于基因A来说是隐性的(或称A为显性基因,a为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA,Aa,aa.人们计划用AA型植物与每种基因型植物相5结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?我们假设),2,2,0(,,ncbannn分别代表第n代植物中,基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分率,令),,()(nnnncbax为第n代植物的基因分布,),,(000)0(cbax表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000cba(8.1)先考虑第n代中的AA型，第1n代AA型与AA型相结合，后代全部是AA型；第1n代的Aa型与和与AA相结合，后代是AA型的可能性为21；1n代的aa型与AA型相结合，后代不可能是AA型。因此，我们有.0211111nnnncbaa（8.2）同理,我们有,2111nnncbb（8.3）.0nc（8.4）将(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得.111nnnnnncbacba（8.5）将(8.5)式递推,并利用(8.1)式,易得.1nnncba我们利用矩阵表示(8.2),(8.3)及(8.4)式,即,2,1,)1()(nMxxnn(8.6)其中.00012100211M这样,(8.6)式递推得到.)0()1(2)1()(xMxMMxxnnnn(8.7)(8.7)式即为第n代基因分布与初始分布的关系.下面,我们计算nM.6对矩阵M做相似变换,我们可找到非奇异矩阵P和对角阵D,使,1PDPM其中.100210111,00012100011PPD这样,经(8.7)得到.)()0()1()0()(1xPPDxPDPxnnn0001002101110000210001100210111cban.021212121010010000cbcbcbannnn最终有.0,2121,21211010010nnnnnnnccbbcba显然,当n时,由上述三式,得到.0,0,1nnncba即在足够长的时间后,培育出的植物基本上呈现AA型.通过本问题的讨论,可以对许多植物(动物)遗传分布有一个具体的了解,同时这个结果也验证了生物学中的一个重要结论:显性基因多次遗传后占主导因素,这也是之所以称它为显性的原因.