数学物理方法第十章-格林函数法

10.3无界空间的格林函数基本解无界区域中格林积分公式中的面积分应为零，故有0000()(,)()dTuGfVrrrr选取()ur和0(,)Grr分别满足下列方程()()ufrr00(,)(-)Grrrr一、三维球对称对于三维球对称情形，我们选取00r两边在球内积分(,0)d()dTTGVVrr()d1TVr利用高斯定理得到2(,0)d(,0)d(,0)dsinddTTSSGGVGVGrrrrrS00(,)(-)Grrrr故有2sindd(,0)d1STGrGVrr使上式恒成立，有2(,0)4π1Grrr1(,0)4πGcrrr0G因此0c，,故得到对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001(,)4π||Grrrr代入得到三维无界区域问题的解为00T00()1()d4π||fuVrrrr上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式0000()(,)()dTuGfVrrrr二、二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即因为(,0)d()dTTGVVrr()d1TVr(,0)d(,0)d(,0)dTTSGVGVGrrrS由于,rGGGre只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即dd()d1TGrzVrr选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果12πGrr11(,0)ln2πGcrr令积分常数为0，得到11(,0)ln2πGrr因此二维轴对称情形的格林函数为0011(,)ln2π||Grrrr得到二维无界区域的解为000011()()lnd2π|SufS|rrrr10.4用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法一、电像法定义考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的0M放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零点对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解000(,)(-)(,)|0GGrrrrrr为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．二、上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在000(,)Mxy处放置一正单位点电荷则虚设的负单位点电荷应该在100(,)Mxy于是得到这两点电荷在xoy的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为0010022220000220022001111(,)lnln2π||2π||1111(,|,)lnln2π2π()()()()()()1ln[]4π()()GGxyxyxxyyxxyyxxyyxxyyrrrrrr据上述物理模型可求解下列定解问题例1定解问题：00,(0)|()xxyyyuuyux解：根据第一边值问题，构建的格林函数满足200()()xxyyGGGxxyy0|0yG0000(,),(,)xyxy处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构建格林函数为2200002200()()1(,|,)ln[]4π()()xxyyGxyxyxxyy边界外法线方向为负y轴，故有0000222222000000111||=2π()π()π()yyyyGGnyxxyxxyxxy代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由项0f,则由000(,)()(,)()d()]dTGuGfVSrrrrrrrn得0002200()(,)dπ()yxuxyxxxy或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式0000(,)()()]dGuSrrrrn得到00220()(,)dπ()gxyuxyxxxy称为上半平面的拉普拉斯积分公式．三、泊松方程的第一边值问题求解例2定解问题：(,)(+,0)(,0)()(+,0)xxyyuufxyxyuxxxy根据第一类边值问题的解公式得到000000000000(,)(,)(,;,)(,)dd()|dyGuxyGxyxyfxyxyxx0nrr根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到2200002200()()1(,|,)ln[]4π()()xxyyGxyxyxxyy因为边界上的法线为负y轴，故002200||π[()]yyGGnyxxy得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解220000000022220000()()()11(,)ln[](,)ddd4π()()π()xxyyyxuxyfxyxyxxxyyxxy例.3在上半空间0z内求解拉普拉斯方程的第一边值问题00,(0)|(,)xxyyzzzuuuzuxy解：构建格林函数000(,,,,,)Gxyzxyz满足0000()()()|0zGxxyyzzG四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题00111(,)4π||4π||Grrrrrr根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为022222200000011(,)4π()()()4π()()()Gxxyyzzxxyyzzrr即有为了把0(,)Grr代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式，需要先计算000|zGn即为000|zGz0000002220000022200002223/200||11[()4π()()()1+()]|()()()1=2π[()()]zzzGGnzzxxyyzzzxxyyzzzxxyyz代入即得到00002223/200(,)(,,)dd2π[()()]gxyzuxyzxyxxyyz这公式叫作上半空间的拉普拉斯积分．五、圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型：在圆内任找一点0()M1RP2R1Mx放置一个单位电荷圆外M1放置另一个单位电荷根据图，这两电荷在圆内任一观察点()P所产生的电势为0111lnln2π||2π||ucb当观察点P位于圆周上()a时，应该有0u，即满足第一类齐次边值条件|0u,即为2222001ln[2cos()]ln[2cos()]04π4πaaababc上式应对任何值成立，所以上式对的导数应为零，即02222002sin()12sin()04π2cos()4π2cos()aabaaabab即得到2222000[2cos()][2cos()]0baaabab要求上式对任意的值要成立，故提供了确定,b的方程22220000()()0220baababab联立解得201,ab于是圆形区域()a的第一类边值问题的格林函数为02001111(,)lnln2π||2π||Ga即为2242000222002cos()1(,)ln{}4π[2cos()]aaGa2222000,xyxy.其中例.4求解如下泊松方程定解问题2()(),()()|(),()aufaua根据第一类边值问题解的公式，并取沿垂直于圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的面积分化为线积分．故得到00000000()(,)()d()|daSlGuGfSln根据构建的圆内第一边值问题的格林函数00222200||2π[2cos()]aaGGanaaa代入得到圆内第一边值问题的解为2422π000000022200000222π0022002cos()1(,)ln{}()dd4π[2cos()]1()d2π2cos()aaaufaaaa例.5在圆a内求解拉普拉斯方程的第一边值问题20,(0)|()auyuf解：222π002200222π0022001(,)()d2π2cos()()d2π2cos()aufaafaaa