镜像法及其应用

镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。下面我们举例说明。1导体平面的镜像例.1在无限大的接地导电平面上方h处有一个点电荷q，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。解建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为0z；场区的源是电量为q位于(0,0,)Ph点的点电荷，边界为xy面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy面上电位为零。导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q和q，分别位于(0,0,)Ph和点(0,0,)Ph，使得xy面的电位为零，如图3.2.2。这种情况，对于0z的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z区域的电位是相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这两种情况，对0z区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)Ph点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程：20q除点外（3.2）图3.2.1导电平面上方的点电荷图3.2.2点电荷的镜像电荷边界条件为：,0R（3.3）0,0z（3.4）在(0,0,)h处放一镜像电荷qq来代替导体表面上感应电荷的作用，并将0z区域换成真空。判断能否代替的标准是看代替后在0z区域内所产生的场是否仍满足方程(3.2)和边界条件(3.3)、(3.4)。q与q在0z的区域内产生的电位为01()4qqRR22222201()4()()qqxyzhxyzh（3.5）R时，式（3.5），因此新系统对边界条件（3.3）自然满足。同时，式（3.5）也满足式（3.4）的边界条件。在0z的区域内的电位为011()4qRR222222011()4()()qxyzhxyzh（3.6）式（3.6）既满足方程（3.2），又满足边界条件式（3.3）、（3.4），由解的唯一性定理可知，它就是原问题所求的电位解。为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式(3.6)可求出上半空间的电场为3322222202211{}4[()][()]xqxExxyzhxyzh3322222202211{}4[()][()]yqyEyxyzhxyzh33222222022{}4[()][()]zqzhzhEzxyzhxyzh在0z的平面上，0xyEE，只有zE即法向电场分量nE存在，亦即图3.2.3点电荷对无限大接地导体平面的镜像电荷322220(,,0)2()nzqhEExyxyh根据导体表面的边界条件，导体表面上的感应电荷面密度为0322222()snqhExyh（3.7）上式表明，s在导体表面上并不是均匀分布的，但它的总感应电荷为322222()ssqhdxdyqdxdyqxyh（3.8）感应电荷总量与镜像电荷总量相等。这一结论是合理的，因为点电荷q所发出的电力线全部终止在无限大的接地导体平面上。讨论：1）镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电荷应放在所研究的场区之外。2）镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。不过很多时候是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大小。3）既然用镜像电荷代替了感应电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面（或介质面）不存在了，把整个空间看成是无界的均匀空间。所求区域的电位等于给定电荷所产生的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。例2两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域，直角区有一点电荷q，如图3.2.4()a所示。求直角区域中的电位分布。解建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于xy平面，设其坐标为(,,0)ab。现在，待求场区为0,0xy的区域，边界面为0x面与0y，在边界面上电位为零。容易看出，对于如图3.2.4()b所示的空间有相对坐标面对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边界条件。因此，可通过这四个点电荷求解待求场区的场，即012341111(,,)()4qxyzrrrr式中，2221()()rxaybz222222232224()()()()()()rxaybzrxaybzrxaybz题6图图3.2.4直角区域中的点电荷和镜像镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面和直角形导电面的情况，所有相交成n(n为正整数)的两个接地导体平面间的场（2,3,4,n），都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数为21n。2导体球面的镜像例.3有一点电荷q置于半径为a的接地导体球外，距球心距离为d处，计算导电球外的电位分布。解设想有一镜像电荷q位于球面内点电荷与球心的连线上距球心为d处，如图3.2.5所示，球外任意点处的电位为00'44'qqRR（3.9）为满足边界条件,0ra，应有00|044raaaqqRR（3.10）即11222222'0(2cos)(2cos)qqadadadrd（3.11）取球面上两个特殊点A和B，将两点的坐标分别代入（3.9）式。在A点，有,RadRad在B点，有,RdaRad则有00'04()4()qqadad（3.12）00'04()4()qqdaad（3.13）由（3.12）、（3.13）两式可解得图3.2.5点电荷与接地导体球面的镜像AB2addaqqd（3.14）这里||||qq，是因为q所发出的电力线并不全部终止在导体球上，有一部分将终止在无限远处。将（3.14）式代入（3.9）式，即得到球外任意点的电位为122221222021/{}4(2cos)[()2()cos)]qadaardrdrrdd（3.15）电场强度为E，所以333301(/)(cos)(/){[(cos)][]sin}4rqadrddaddErdeeRRRR因为对球面上的点有(/)RadR，所以在ra的球面上0E，而22223/20()4(2cos)rnqdaEEaadad球面上的感应电荷面密度为00||snrarraEE球面上感应电荷总量为2222223/200()sin4(2cos)sqdaaddqaadad221223/21()(cos)2(2cos)qdaadadad2222()22()qdaaaqqddad感应电荷总和与镜像电荷q相等，这与预期的结果一致。点电荷q所受到的导体球的作用力为222204()xadqFeda（3.16）负号表示为吸力。讨论：1）导体球不接地，则此时的边界条件是：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，而球面上的净电荷为零。为满足导体球面的边界条件，如图3.2.6所示，需在球心处再加上一个像电荷qq，以保持球面仍为等位面。此时，球外任意点的电位为01//()4'qadadRRr（3.17）由前可知，上式中的第一、二项共同作用在球面上，使球面的0，则球的电位为00|44raqqad即导体球不存在时，点电荷q在O点产生的电位。2）导体球不接地，带有总电荷为Q，则边界条件为：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，球面上的净电荷为零，球面的总电荷量为Q。在球内d处放一像电荷q，q和球外的q使球面上的电位为零，把电荷量aQqd放在球上，则球面上的感应电荷总量为零，球上的电荷量便为Q了。根据叠加原理，aQqd应均匀分布上球面上，对于球外点P，此电荷产生的电位等于它集中在球心所产生的电位，即01()4'aaqQqqddRRr（3.18）3）点电荷位于电位为0V的导体球附近时，有0|raV，此时相当于在球心放置了电荷量为004Va的点电荷，即000044QVQaVa0000444aVaVQrrr故001()4'aqVaqdRRr（3.19）4）均匀电场中的导体球如图3.2.7所示，均匀电场可看作是在无穷远处的两个正负电荷产生的，故有图3.2.6点电荷与不接地导体球面的镜像RR221/2221/2024221/224221/21{4(2cos)(2cos)}(/2/cos)(/2/cosQQrRrRrRrRaaQQRRraRarRraRarR32220122(coscos)4QQarRrRRr当R时，200020224QEQERR30230()cos4aPrErErrr（3.20）另一种解法：这里来研究一个导体球面的镜像问题。如图所示，图3.2.7均匀电场中导体球的镜像在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一点电荷q。根据问题的对称性，可设镜像电荷(—q`)放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。虽然有（1－78）于是，球外任意点P的电位为（1－79）由此可知，点电荷附近接地导体球的影响，可用位于距球心b处的镜像电荷(—q`)来表示。也即(—q`)代替金属球面上感应电荷的作用。镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。如图1—30所示，平面分界面S的左、右半空间分别充满介电常数为与的均匀介质，在左半空间距S为d处有一点电荷q，求空间的电场。设左半空间电位为，右半空间电位为这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q`所产生(这时介电常数的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的像电荷q``单独产生(这时介电常数为的介质布满整个空间)。故两介质中的电位表达式为（1－80）（1－81）（1－82）（1－83）例4不接地空心导体球的内、外半径分别为a和b，在空腔内距球心为11()dda处放置点电荷1q，在球外距球心为22()ddb处放置点电荷2q，且12,qq与球心共线，如图3.2.8所示，求点电荷1q和2q分别受到的电场力。解由于球壳不接地，点电荷1q在球壳的内表面上感应电荷为1q，在球壳的外表面上感应电荷为1q；而2q则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。球壳内表面上的感应电荷1q可用一个镜像电荷1q等效代替，球壳外表面上