第三节格林公式及其应用

LD区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有LDyQxPyxyPxQdddd(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或一、格林公式机动目录上页下页返回结束证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且bxaxyxD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd)),((2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd)),((1dcyddcyxoECBAbaD定理1目录上页下页返回结束即同理可证①②①、②两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1目录上页下页返回结束yxoL2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域,如图)(的正向边界表示kkDD证毕定理1目录上页下页返回结束推论:正向闭曲线L所围区域D的面积LxyyxAdd21格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积2022d)sincos(21ababab定理1目录上页下页返回结束例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证:令,,22xQyxP则利用格林公式,得yxxyxLdd22Dyxdd00机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则2,0yexQP利用格林公式,有Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exyoyx)1,1(A)1,0(BD机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令,022时则当yx设L所围区域为D,,)0,0(时当D由格林公式知yxoL机动目录上页下页返回结束dsincos2022222rrr2,)0,0(时当D在D内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D,对区域1D应用格lyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDL1Dloyx记L和lˉ所围的区域为林公式,得机动目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有.0ddLyQxP(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)yQxPyxudd),(d(4)在D内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设21,LL21ddddLLyQxPyQxP21ddLLyQxPAB1L2L2ddLyQxP为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))BAyQxPddAByQxPdd定理2目录上页下页返回结束证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),,(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数定理2目录上页下页返回结束证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得yQxPuddd则),(),,(yxQyuyxPxuP,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有xQyP定理2目录上页下页返回结束证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式,得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕定理2目录上页下页返回结束yx说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束yAxoL例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648圆周区域为D,则机动目录上页下页返回结束例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设,,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2可知,存在函数u(x,y)使yyxxyxuddd22。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd02机动目录上页下页返回结束例6.验证22ddyxxyyx在右半平面(x0)内存在原函数,并求出它.证:令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理2可知存在原函数xx1d0oxyyyxyx022d)0,(x)0,1(),(yx机动目录上页下页返回结束oxy)0,(x)0,1(),(yxyyy021dyxarctan2或),1(y机动目录上页下页返回结束例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由)2,0(A移动到求力场所作的功W解:)dd(2Lyxxyrk令则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.LBAyoxsFWLd机动目录上页下页返回结束:AB)dd(2yxxyrkWAB)02:(sin2,cos2yxk2思考:积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束内容小结1.格林公式LyQxPdd2.等价条件在D内与路径无关.yPxQ在D内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对D内任意闭曲线L有0ddLyQxP在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示:时022yxyPxQ)1(yPxQ)2(机动目录上页下页返回结束2.设提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422yox),(yx)0,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy5xxyxd)4(34yyyxd)56(422C作业P1532(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四节目录上页下页返回结束CCCDyxoaaC备用题1.设C为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点),0(a依逆时针),0(a的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=aayayd)ln2(D222xayyxddC到点机动目录上页下页返回结束D2.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到Dyxdd2点B(3,4),到原点的距离,解:由图知故所求功为AByxxydd22锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为)dd(yxxy)1(21334xyAB的方程F求变力F对质点M所作的功.(90考研),),(xyFF的大小等于点M在此过程中受力F作用,sFWd),(yxMBAyxo机动目录上页下页返回结束