中考数学专题操作探究型问题

专题四操作探究型问题考点知识梳理中考典例精析专题训练专题训练【练习篇】近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．1．利用图形的变换作图(1)利用平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离．(2)利用旋转：把一个图形沿一个定点旋转一定角度．(3)利用轴对称：作出一个图形的轴对称图形．(4)利用位似：把一个图形放大或缩小．温馨提示：利用图形的变换作图是近几年中考的热点和重点，关键是掌握各种变换的特征.2．设计测量方案题对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用所学数学知识，设计测量方案，得出测量结果．温馨提示：设计与生活密切相关的测量方案，是中考热点，注意平时对实际操作能力的培养.3．动手操作题动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．类型一：图形折叠型动手操作题图形折叠型动手操作题,就是通过图形的折叠来研究它的相关结论．类型二：图形拼接型动手操作题图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．类型三：图形分割型动手操作题图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若干块，然后再把它们拼合一个符合条件的图形．类型四：作图型动手操作题作图型动手操作题，就是通过平移、对称、旋转或位似等变换作出已知图形的变换图形．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是()【点拨】动手操作法．【答案】B利用勾股定理即可得出结果．A．2＋10B．2＋210C．12D．18如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.(1)求tan∠BOA的值；(2)将点B绕原点按逆时针方向旋转90°后所到点记作点C，求点C的坐标；(3)将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B′的坐标为(2，－2)，在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′，A′的坐标．【点拨】解此题时要先画旋转后，平移后的图形，然后据图解答，问题会变得清晰易解．【解答】(1)∵点B(4,2),BA⊥x轴于点A,∴OA=4，BA=2,∴tan∠BOA＝ABOA＝24＝12.(2)如图，由旋转可知CD＝BA＝2，OD＝OA＝4，∴点C的坐标是(－2,4)．(3)△O′A′B′如图所示．O′(－2，－4)，A′(2，－4)．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图①所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为______．【解答】(1)当P点与B点重合时，此时A′点离B点最远(如图②)，且BA′＝BA＝3.(2)Q点与D点重合时，此时A′点离B点最近(如图③)．设BA′＝x，则CA′＝5－x，又因为A′D＝AD＝5，在Rt△A′CD中，由勾股定理，得(5－x)2＋32＝52，解得x1＝1，x2＝9(舍去)．即BA′＝1.综合(1)、(2)可知，A′点在BC上可移动的最大距离为3－1＝2.1．如图所示，有一张长为5，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．(1)该正方形的边长为______(结果保留根号)；(2)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．答案：(1)15(2)如图，①作出BN＝15(BM＝4，MN＝1，∠MNB＝90°)；②画出两条裁剪线AK，BE(AK＝BE＝15，BE⊥AK)；③平移△ABE和△ADK.此时，得到的四边形BEFG即为所求．2．如图是一个等腰直角三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成：(1)一个非矩形的平行四边形；(2)一个等腰梯形；(3)一个正方形．请画出拼接后的三个图形．答案：如图：3．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0)．(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；(3)请直接写出:以A,B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.答案：(1)(2,3)(2)图形略,(0,－6)(3)(－7,3)或(－5，－3)或(3,3)4．如下图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图②，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合(在图③至图⑥中统一用F表示)．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离．(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度．(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH.答案：(1)图形平移的距离就是线段BC的长，为5cm.(2)FG＝532cm.(3)提示：先证AE＝DB1，再证△AHE≌△DHB1(AAS)．操作探究型问题训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共24分)1．(2012中考预测题)如图，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是()【解析】动手操作法．【答案】D2．(2010中考变式题)如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是()A．669B．670C．671D．672【解析】第n次操作可得3n＋1个小正方形，令3n＋1＝2011，解得n＝670.【答案】B3．(2012中考预测题)在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图①那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的()A．5B．4C．3D．1【解析】动手操作法．【答案】D4．(2011·芜湖)如图，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的正方形(a0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm2【解析】所得矩形的长为[(a＋4)＋(a＋1)]cm，宽为[(a＋4)－(a＋1)]cm，∴S矩形＝(2a＋5)×3＝6a＋15(cm2)．【答案】D二、填空题(每小题10分，共20分)5．(2010中考变式题)学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．(1)对于两个直角三角形，满足“一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地，你可以得到“满足____________，或____________，两个直角三角形相似”．(2)满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相等”，类似地，你可以得到“满足________________的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程．已知：如图，_______________________________________.试证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.【答案】(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例(2)斜边和一条直角边对应成比例在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，ABA′B′＝ACA′C′.证法一：设ABA′B′＝ACA′C′＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，BCB′C′＝AB2－AC2A′B′2－A′C′2＝k2A′B′2－k2A′C′2A′B′2－A′C′2＝k∴ABA′B′＝ACA′C′＝BCB′C′∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.证法二：假设ABA′B′，在AB上截取AB″＝A′B′，过点B″作B″C″⊥AC，垂足为C″.∵∠C＝∠AC″B″，∴BC∥B″C″.∴Rt△ABC∽Rt△AB″C″，∴ACAC″＝ABAB″∵AB″＝A′B′，∴ACAC″＝ABA′B′又∵ABA′B′＝ACA′C′，∴ACAC″＝ACA′C′，∴AC″＝A′C′.∵AB″＝A′B′，∠C′＝∠AC″B″＝90°.∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.6．(2011·山西)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.(1)实践与操作利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．①作△ABC的外接圆，圆心为O；②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.(2)综合与运用在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：①AD与⊙O的位置关系是________．②线段AE的长为________．【答案】（1）解：所作图形如图所示．(2)①相切【解析】∵sin∠BAC＝BCAB＝12，∴∠BAC＝30°.又△ACD为等边三角形，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°，∴AD与⊙O相切．②4721(或437)【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝42－22＝23，∴AD＝AC＝23.在Rt△BAD中，BD＝AB2＋AD2＝42＋32＝27.又∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BD.∴据面积公式可知AB·AD＝AE·BD.∴AE＝AB·ADBD＝4×2327＝437＝4721.三、解答题(共56分)7．(18分)(2012中考预测题)正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝b(b2a)，且边AD和AE在同一直线上．小明发现：当b＝a时，如图①，在BA上选取中点G，连接FG和CG，移动△FAG和△CBG的位置可构成正方形FGCH.(1)类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．【答案】解：(1)(2)要使(1)中所剪拼的新图形是正方形，须满足BGAE＝________.(2)128．(18分)(2010·中考变式题)如图，在一块正方形ABCD木板上需贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．【探究1】如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需________元；【探究2】如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；【探究3】设木板的边长为a(a为整数)，当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？如果用这样的多块木板贴一堵墙(7×3平方米)进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板多少块？【答案】【探究1】220【解析】这块木板用A型墙纸1平方米，用B型墙纸1平方米，用C型墙纸2平方米，则所用墙纸的费用为60×1＋80×1＋40×2＝220(元)．【探究2】设正方形EFCG的边长为x米，则有贴A型墙纸的面积为x2平方米，贴B型墙纸的面积为12(1－x)平方米，贴C型墙纸的面积为[1－x2－12(