球坐标系与柱坐标

球坐标系与柱坐标系高二备课组在平面内,为了适应对点的位置的不同需求,我们创设了直角坐标系、极坐标系等不同的坐标系.类似的,在空间,我们也可以创设新的坐标系来满足空间对点的位置的不同需求.除空间直角坐标系,还能创设怎样的新坐标系呢?一.球坐标系为了实现全球通讯线路畅通,需要发射三颗地球同步通讯卫星.按照要求,这三颗卫星应位于赤道平面内,距地球36000km的高空中,且它们构成等边三角形,那么,怎样确定它们在空间的位置呢?在实际中,我们是用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度和纬度.O在空间任取一点O作为极点,从O引两条互相垂直的射线OX和OZ作为极轴,再规定一个单位长度和射线OX绕OZ轴旋转所成的角的正方向,这样就建立了一个球坐标系.Oxz,,rPr设P是空间一点，用r表示OP的长度,θ表示以OZ为始边,OP为终边的角,表示半平面XOZ到半平面POZ的角.那么,有序数组就称为点P的球坐标.,,r这里r是矢径，相当于经度,θ相当于纬度.20,0,0r当时,空间的点(除直线OZ上的点)与有序数组建立一一对应关系.0,0,,rr在地球同步通讯卫星的问题中,建立适当的球坐标系,并运用球坐标表示三个地球同步通讯卫星的位置.思考:例1建立适当的球坐标系,表示棱长为l的正方体的顶点.OAGEFDCBxz解如图建立坐标系,则O(0,0,0)0,2,1A4,2,2B2,2,1C0,0,1D0,2,2E4,33arccos,3F2,4,2G二.空间直角坐标与球坐标的转化若空间直角坐标系的原点、OX轴及OZ轴,分别与球坐标系的极点、OX轴及OZ轴重合,就可以得到空间同一点的直角坐标与球坐标之间的关系：Oxzyz,,rPyxr.cos,sinsin,cossin,2222rzryrxrzyx例3球坐标满足方程r＝3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程．例2将点M的球坐标化为直角坐标．65,3,8传统的杂技节目“飞车走壁”中,演员驾驶摩托车(或汽车),随着车速的变化,沿着圆桶形的壁作螺旋式上升或下降的运动.演员在空中的位置由圆桶的半径、演员的方位以及他离开地面的高度确定．三.柱坐标系在平面极坐标系的基础上,增加垂直于此平面的OZ轴，可得空间柱坐标系.OxzzzP,,Q设P是空间一点,P在过O且垂直于OZ轴的平面上的射影为Q，取.,,zQPxOQOQ那么,点P的柱坐标为有序数组z,,Rz,20,0当时,空间的点(除直线OZ上的点)与有序数组建立一一对应关系.0,,z例4柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么?解在平面极坐标系中,ρ＝2表示以极点为圆心,2为半径的圆.因此，在柱坐标中,设OZ轴所在的直线为l,则方程ρ＝2表示以l为轴,且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面.四.小结Oxz,,rPrOxzzzP,,Q柱坐标系球坐标系练习P15:T12,14.作业P15:T13,15.