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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 初二下四边形证明题含答案
一:解答题1、已知:如图7,E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF。求证:∠CDF=∠ABE2、如图8,把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H.求证:HC=HF.3、已知:如图9,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△AB外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,猜想四边形ADCE的形状,并给予证明.4、如图10,在梯形纸片ABCD中,AD//BC,ADCD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C处,折痕DE交BC于点E,连结C′E.求证:四边形CDC′E是菱形.答案:1、证明:(1)∵ABCD是平行四边形,∴DC=AB,DC∥AB,∴∠DCF=∠BAE,∵AE=CF,∴△ADF≌△CBE,∴∠CDF=∠ABE2、如图8,把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H.求证:HC=HF.解:证明:连结AH,∵四边形ABCD,AEFG都是正方形.90BG°,AGAB,BC=GF,又AHAH.RtRt()AGHABHHL△≌△,HGHB∴,∴HC=HF.3、解:猜想四边形ADCE是矩形。证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC.∴∠BAD=∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴MAECAE.∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=21180°=90°.又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴ADCCEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.4、证明:根据题意可知DECCDE'ΔΔ则'''CDCDCDECDECECE,,∵AD//BC∴∠C′DE=∠CED,∴∠CDE=∠CED∴CD=CE∴CD=C′D=C′E=CE∴四边形CDC′E为菱形1.如图,正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形,则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中.(1)四边形OECF的面积如何变化.(2)若正方形ABCD的面积是4,求四边形OECF的面积.解:在梯形ABCD中由题设易得到:△ABD是等腰三角形,且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°.过点D作DE⊥BC,则DE=12BD=23,BE=6。过点A作AF⊥BD于F,则AB=AD=4.故S梯形ABCD=12+43.2.如图,ABCD中,O是对角线AC的中点,EF⊥AC交CD于E,交AB于F,问四边形AFCE是菱形吗?请说明理由.解:四边形AFCE是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA=OC,CE∥AF.∴∠ECO=∠FAO,∠AFO=∠CEO.∴△EOC≌△FOA,∴CE=AF.而CE∥AF,∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF是垂直平分线,∴AE=CE.∴四边形AFCE是菱形.3.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:(1)△BDE≌CDF.(2)△ABC是直角三角形时,四边形AEDF是正方形.19.证明:(1),90DBCBDCDDEABDFACBEDCFDBC是的中点△BDE≌△CDF.(2)由∠A=90°,DE⊥AB,DF⊥AC知:AEDFBEDCFEDEDF四边形是矩形矩形AEDF是正方形.4.如图,ABCD中,E、F为对角线AC上两点,且AE=CF,问:四边形EBFD是平行四边形吗?为什么?解:四边形EBFD是平行四边形.在ABCD中,连结BD交AC于点O,则OB=OD,OA=OC.又∵AE=CF,∴OE=OF.∴四边形EBFD是平行四边形.5.如图,矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm.现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,试求AF的长和重叠部分△AEF的面积.【提示】把AF取作△AEF的底,AF边上的高等于AB=3.由折叠过程知,EF经过矩形的对称中心,FD=BE,AE=CE=AF.由此可以在△ABE中使用勾股定理求AE,即求得AF的长.【答案】如图,连结AC,交EF于点O,由折叠过程可知,OA=OC,∴O点为矩形的对称中心.E、F关于O点对称,B、D也关于O点对称.∴BE=FD,EC=AF,由EC折叠后与EA重合,∴EC=EA.设AF=x,则BE=FD=AD-AF=4-x,AE=AF=x.在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB2+BE2=AE2,即32+(4-x)2=x2.解得x=825.∴S△AEF=21×3×825=1675(cm2)故AF的长为825cm,△AEF的面积为1675cm2.6.如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F、G.求证:PF+PG=AB.【提示】延长GP交BC于H,只要证PH=PF即可,所以只要证∠PBF=∠PBH.【答案】∵BE=DE,∴∠EBD=∠EDB.∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠EBD=∠CBD.延长GP交BC于H点.∵PG⊥AD,∴PH⊥BC.∵PF⊥BE,P是∠EBC的平分线上.∴PF=PH.∵四边形ABHG中,∠A=∠ABH=∠BHG=∠HGA=90°.∴四边形ABHG为矩形,∴AB=GH=GP+PH=GP+PF故PF+PG=AB.7.已知:如图,以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC,B在FE的延长线上.求证:AE、AF把∠BAC三等分.【提示】证出∠CAE=30°即可.【答案】连结BD,交AC于点O,作EG⊥AC,垂足为G点.∵四边形AEFC为菱形,∴EF∥AC.∴GE=OB.∵四边形ABCD为正方形,∴OB⊥AC,∴OBGE,∵AE=AC,OB=21BD=21AC,∴EG=21AE,∴∠EAG=30°.∴∠BAE=15°.在菱形AEFC中,AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠FAC=21∠EAC=15°∴∠EAB=∠FAE=∠FAC.即AE、AF将∠BAC三等分.8.如图,已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动,∠MCN为定角,连结AM、AN,并延长分别交BC、CD于E、F两点,则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程,它们的和是否有变化?证明你的结论.【提示】BD为正方形ABCD的对称轴,∴∠1=∠3,∠2=∠4,用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC.【答案】∵BD为正方形ABCD的对称轴,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠EMC=180°-∠1-∠3=180°-2∠1.同理∠FNC=180°-2∠2.∴∠EMC+∠FNC=360°-2(∠1+∠2).∵∠MCN=180°-(∠1+∠2),∴∠EMC+∠FNC总与2∠MCN相等.因此∠EMC+∠FNC始终为定角,这定角为∠MCN的2倍.9.如图(1),AB、CD是两条线段,M是AB的中点,S△DMC、S△DAC和S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积.当AB∥CD时,有S△DMC=2DBCDACSS①(1)如图(2),若图(1)中AB∥CD时,①式是否成立?请说明理由.(2)如图(3),若图(1)中AB与CD相交于点O时,S△DMC与S△DAC和S△DBC有何种相等关系?证明你的结论.图(1)图(2)图(3)【提示】△DAC,△DMC和△DBC同底CD,通过它们在CD边上的高的关系,来确定它们面积的关系.【答案】(1)当AB∥CD时,①式仍成立.分别过A、M、B作CD的垂线,AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F.∵M为AB的中点,∴MN=21(AE+BF).∴S△DAC+S△DBC=21DC·AE+21DC·BF=21DC·(AE+BF)=2S△DMC.∴S△DMC=2DACDBCSS(2)对于图(3)有S△DMC=2DACDBCSS.证法一:∵M是AB的中点,S△ADM=S△BDM,S△ACM=S△BCM,S△DBC=S△BDM+S△BCM+S△DMC,①S△DAC=S△ADM+S△ACM-S△DMC②①-②得:S△DBC-S△DAC=2S△DMC∴S△DMC=2DACDBCSS.证法二:如右图,过A作CD的平行线l,MN⊥l,垂足为N,BE⊥l,垂足为E.设A、M、B到CD的距离分别h1、h0、h2.则MN=h1+h0,BE=h2+h1.∵AM=BM,∴BE=2MN.∴h2+h1=2(h1+h0),∴h0=212hh.∴S△DMC=2DACDBCSS.10.已知:如图,△ABC中,点O是AC上边上一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证EO=FO.(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论.【提示】(1)证明OE=OC=OF;(2)O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形,然后证明它此时也是矩形.【答案】(1)∵CE平分∠BCA,∴∠BCE=∠ECO.又MN∥BC,∴∠BCE=∠CEO.∴∠ECO=∠CEO.∴OE=OC.同理OC=OF.∴OE=OF.(2)当点O运动到AC边的中点时,四边形AECF是矩形,证明如下:∵OE=OF,又O是AC的中点,即OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,且∠BCA+∠ACD=180°,∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=21(∠BCA+∠ACD)=90°.∴□AECF是矩形.
本文标题:初二下四边形证明题含答案
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