SARS传染病模型

1SARS的传播模型石坤张贻初王竹青摘要本文在传统的传染病SIR模型的基础上，通过对问题的分析，建立了SARS传播的微分方程模型，即：)()()()()()()(tNtdtNtotNtKdttdN，其中)(tN表示t时刻的SARS病人数，)(tK表示t时刻的传播率，)(to表示表示t时刻的治愈率，)(td表示表示t时刻的死亡率。本文用)(tK、)(to、)(td三个参数较好地描述了SARS的传播过程。通过采集北京6月份以前的数据，结合各个参数代表的实际意义，对他们分别进行指数或抛物线的回归分析，得到了)(tK、)(to、)(td的表达式，较好地刻划了SARS的传播规律，并对疫情作出了预测。与附件模型相比，本模型的优点表现在：1、模型采用的是北京本地前期的数据，排除了地区差异带来的影响；2、通过回归分析的方法使离散的点连续化；3、用微分方程描述SARS的传播问题更加准确。本文利用Matlab和Mathematica两个数学软件，对复杂的微分方程进行了求解。仅用6月以前的数据，就得到了SARS病人数目随时间变化的曲线预测图。预测了在6月10日左右疫情将得到缓解，在7月中旬将基本消除。经检验，我们的预测与实际情况是相吻合的。文中调整)(tK、()ot、)(td来对模型的结果进行控制，画出提前5天和推后5天进行隔离时病人数和时间的曲线，其结果与实际情况是相符的。总之本文建立的微分方程模型能够较好地对SARS的传播过程进行预测，并为政府部门提供决策依据，具有一定的普遍适用性。在分析SARS对经济的某一方面影响时，我们选择了受SARS冲击较大的旅游业，以北京每月海外旅游的人数作为考察的对象。考虑到疫情对旅游人数的影响，本文建立了衰减模型xtrtttebxay)()(，其中ttbxa体现了往年旅游人数的规律，而xtre)(则是衰减因子，用tr来衡量SARS对经济的影响大小的程度（称为灾难系数）。很显然在SARS被控制甚至被消除后，tr将呈递减趋势，并随着时间t的增加逐渐趋近于0，为此本文用函数edtc对tr进行回归分析，得到衰减模型的解。经过图像分析，预测出在6月份时海外旅游人数仅为正常情况下的75%，而10月份海外旅游人数将恢复到原来的98％，年末将完全恢复。在建模的过程中，本文采用的图表多达13个，通过大量的分析对比，对数据进行了很有效的整理，为模型提供了有力的支持。一、问题的提出SARS是二十一世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国2的经济发展和人民生活带来了很大的影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。附件一所给的模型是在5月8号以前的北京疫情数据的基础上、按香港和广东的数据得出参数，对北京地区的疫情进行分析和预测的。题目要求：(1)根据北京市疫情的数据对其进行分析，评价附件一所给模型的合理性和实用性。(2)要求我们建立自己的模型，说明怎样才能建立一个预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，分析它比所给模型更优越，并对卫生部门所采取的措施做出评论对疫情传播所造成的影响进行估计。(3)根据SARS对经济的影响的参考数据，建立一个SARS对经济的影响模型。(4)给报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、附件1的模型评价附件1的模型采用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格的隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获取比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。总的来说，这种分析问题的方式是可取的，因为它能根据香港和广东的参数较为合理地预测北京的疫情的走势，但又存在较多的缺陷。具体的评价如下：（一）优点：1．该模型的最大特点是引入了两个重要的参数：每人每天的传染率k和传染周期L，这是一种比较方便有效的方法。在前期数据拟合的基础上通过一定的假设处理(如在十天内对K的调整等)对两个参数进行控制。2．模型解得的结果对SARS传播的前期预测效果较好，在整体上也较为合理，能够基本预测其大致的发展趋势。3．根据所得的结果进行简单的病情预测，为医疗部门的决策提供了参考建议。（二）缺点：1．模型为：tKNtN)1()(0，0N是初始病例数，t是天数，K为平均每个病人每天可传染的人数。模型并没有考虑病人的死亡和治愈情况，即退出传染系统的人并没有考虑在内。2．该模型采取的是对香港与广东的数据进行拟合，得出参数K的值作为北京的模型参数，这对预测北京的疫情是不合适的。第一，北京市政府采取了比香港、广东地区更为得力的措施，如严格执行隔离措施、对人口流动较快的地方实行封闭管理、加大卫生宣传力度等第二，北京市与香港、广东地区的气候、环境、人口流动情况不同，如广东、香港经济较为发达，外来人口打工的较多，属于外贸的中心地带，气温相对较高，而北京则不同。这两点直接影响到已感染者的传染率和病毒的传染周期，也就是说，不管是用香港的或是用广东的参数来作为北京的参数都是不合理的。33．K值的假设上存在问题。在控制前，SARS接近于自然传播时的传播模式，此时K值可以看作一个常量，这是合理的。而把过渡期设为10天，且在10天之内仅用三个离散的K值进行过渡,过渡期之后,又将K值看作一个大于0的常数,这一系列的处理都是很不科学的假设。我们通过北京实际的数据进行分析得到40个K值，可以看到过渡期大于10天而且是连续变化的过程，K到最后实际是趋近于0的（见图2）。（三）模型检验：我们把5月8号以后公布的实际数据(图中蓝点所示)与他所做的北京日增病例走势分析进行比较，结果发现SARS疫情发展的趋势大体上与预测曲线是相一致，但下降得更陡峭一些（见图1）。图1这是由于在后阶段，模型中的K是大于0的常数，而实际情况是趋近于0的(见图2)，这就意味着实际传播中的后期由于多方面的原因，传染率已经被控制得很小了。图24以上就是我们对附件1做出的评价。：通过对附件一中模型的多方面分析，我们对SARS疫情的传播有了进一步的认识，为了克服附件模型中的诸多不足，更准确地预测SARS的传播趋势，更有效地提供预防控制信息，我们建立了SARS传播的更一般的微分方程模型：三、模型的假设（一）模型假设:1．将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。2．在模型的建立中所采用的数据都是根据卫生部所公布的数据，假设这些数据真实可靠。3．我们把整个人群看作由两个系统组成，传染系统和非传染系统。传染系统完全由活着的SARS病人组成，且只有活着的SARS病人才具有传染能力，该病人一旦治愈或一旦死亡我们就看作其退出传染系统。所有的非SARS病人组成非传染系统，其中每个成员都有可能被传染成为SARS患者。4．非传染系统的成员一旦受传染就立即进入传染系统（不考虑潜伏期），并被确诊通报。5．在相当一段时间内不会出现治疗SARS的特效药。（二）符号规定1、)(tN：在t时刻，具有传染能力的SARS病人；2、nN：第n天,具有传染能力的SARS病人;3、)(tK：在t时刻的传染率，即在单位时间内平均每个病人传染的人数；4、nK：第n天的传染率，即在这一天平均每个病人传染的人数；5、)(tO：在t时刻，被治愈出院的病人数；6、nO：第n天，被治愈出院的病人数；7、)(to：在t时刻的治愈率，即)()()(tNtotO；8、)(tD：t时刻的死亡人数；9、nD：第n天的死亡人数；10、)(td：在t时刻的死亡率，即)()()(tNtdtD；11、)(tQ：t时刻退出传染系统的人数（包括t时刻死亡人数和治愈人数）,即：)()()(tOtDtQ；512、)(tq：在t时刻的退出率，即)()()()()(tdtotNtQtq；四、模型的建立与求解在SARS爆发的初期,由于潜伏期的存在,社会对SARS病毒的传播速度和危害程度认识不够,所以政府和公众并不以为然;当人们发现被感染者不断增加、死亡人数不断增多时,政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播可以分为三个阶段:（1）、控制前的自然传播模式阶段。（2）、过渡期阶段，即公众开始意识到SARS的严重性到政府采取隔离措施前的一段时期内。（3）、控制阶段，即政府采取隔离治疗措施阶段。但是,不管SARS传播处于哪个阶段，影响传播最本质的因素是:自由传染者的数量)(tN,传播的概率)(tK及病毒本身的传播能力(用)(tO和)(tD来衡量)等。所以我们不分阶段进行考虑。第n天的病人是在第1n天的基础上加上新增的病人，减去退出传染系统的病人，即：nnnnnODKNN)1(1移项得1111nnnnnNODNK……………………（1）经过转换，得nnnnnnODNNNK111111取微分得到下面连续的方程dttOdttDtdNtNtdtK)()()()()(即：)()()()()(tOtDtNtKdttdN由此得到SARS的传播模型为：6)0()()()()()()()()(0NNtotdtqtNtqtNtKdttdN这和传染病SIR模型1的形式是相统一的。其中)(tK、)(td、)(to等参数可以为我们提供所需要的信息。我们只要能够知道)(tK、)(td、)(to的表达式，便可以求解微分方程得到)(tN。我们根据北京地区6月1号以前的数据进行拟合，预测)(tK、)(td、)(to以后的走势曲线，从而实现对)(tN的预测。1、对于)(tK我们根据北京市疫情的数据，根据（1）式对K进行描点，得到一些K值的散点图。随着时间的推移，隔离措施、医疗保障、公众健康意识的加强，K值应该急剧减小，并趋近于0。因此对散点进行指数回归分析（利用Matlab软件）2，便可得到K关于时间t的连续函数)(tK（附件一模型中的K值是离散的）（图3）。图3tetK18006.044865.0)(7从图中可以看出，由前40个点拟合出的指数函数与后期的数据是吻合的。根据新增死亡病例和新增治愈病例的数据，也可以得到d和o的散点图。2、对于)(td随着医疗水平的提高以及对SARS病毒研究的深入，死亡率将逐渐减少，我们对d的散点图进行指数回归分析，即得)(td（如图4）图4tetd117.001701.0)(3、对于)(to在SARS疫情蔓延的初期，传染系统的人数较少，由于人们对SARS病毒的了解不多，防危意识不强，导致疫情的爆发，传染系统的人数急剧增加，治愈率呈现降低的趋势；随着政府的干预，人们防危意识的增强，治愈率开始增加。)(to整体显示出抛物线的特性，我们对它进行二阶回归分析得到如下结果（图5）：8图502138.000234.000007727.0)(2ttto由于实际数据有很大的随机性，在回归分析中，我们很难找到准确的函数来描述相应参数的变化趋势，只能从整体上来预测。这是我们遇到的最大的困难。将得到的)(tK、)(td、)(to代入微分方程，得)()02138.000234.000007727.001701.0(44865.0)(2117.018006.0tNtteedttdNtt我们利用Mathematica的微分方程数值求解命令NDSolve，求得)(tN的数值解，并画出随着时间变化的曲线（图6）：204060802505007501000125015001750图6X轴的起始坐标是4月20号，Y轴表示人数9五、模型结果的分析和检验我们建立的微分方程模型具有一定的普遍适用性，针对北京地区而言，我们从以下几个方面对模型的结果进行分析：1)对模型本身的结果进行检验2)与附件模型进行比较3)模型参数的评价4)模型的缺点(一)结果检验：a．与实际情况作对比图进行分析2040608025050075010001250150017502000图7说明：X轴的起始坐标是4月20号，Y轴表示人数