完备黎曼流形上椭圆方程的局部梯度估计

AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2019,8(4),657-663PublishedOnlineApril2019inHans.://doi.org/10.12677/aam.2019.84073文章引用:王子君.完备黎曼流形上椭圆方程的局部梯度估计[J].应用数学进展,2019,8(4):657-663.DOI:10.12677/aam.2019.84073LocalDerivativeEstimatesforanEllipticEquationonCompleteRiemannianManifoldsZijunWangSchoolofMathematicsandPhysics,ChinaUniversityofGeosciences,WuhanHubeiReceived:Mar.31st,2019;accepted:Apr.15th,2019;published:Apr.22nd,2019AbstractThemainpurposeofthispaperistoderivelocalgradientestimatesforasecond-orderellipticequationoffupuqulog∆=+withsmoothfunctionsf,pandqonacompleteRiemannianma-nifold.KeywordsGradientEstimate,EllipticEquation,CompleteRiemannianManifold完备黎曼流形上椭圆方程的局部梯度估计王子君中国地质大学(武汉)，数学与物理学院，湖北武汉收稿日期：2019年3月31日；录用日期：2019年4月15日；发布日期：2019年4月22日摘要本文的主要目的是在一个完备黎曼流形上推导出一个二阶椭圆方程fupuqulog∆=+的局部梯度估计，该方程具有光滑函数f、p和q。关键词梯度估计，椭圆方程，完备黎曼流形王子君DOI:10.12677/aam.2019.84073658应用数学进展Copyright©2019byauthorandHansPublishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).研究背景梯度估计是研究偏微分方程解的重要工具之一。历史上，S.T.Yau[1]证明了一个全局梯度估计：对于n维的具有下界的Ricci曲率(即()1RicnK≥−−，这里整数0K≥)的黎曼流形上的正调和函数u(即0u∆=)，我们有()1unKu∇≤−。在此基础上，对椭圆方程的梯度估计进行了研究。举几个例子，L.Ma[2]推导了下列椭圆方程的局部梯度估计：log0,uauubu∆++=(1.1)这是从在0a和b为常数的黎曼流形上的Ricci孤子的势推导出的。2017年，B.Ma，G.Huang和Y.Luo[3]证明了在完备黎曼流形上对于0ucuα∆+=的正解的梯度估计，其中c，α是两个实常值，并且0c≠。f-Laplacian是Laplace-Beltrami算子的自然类比，它由2C函数u定义：fuuuf∆=∆−∇,∇,Bakry-ÉmeryRicci曲率定义为：:.fRicRicHessf=+K.Brighton[4]研究了下列方程的正解的梯度估计：0fu∆=,(1.2)并且得到了Liouville定理：在具有非负Bakry-ÉmeryRicci曲率的完备光滑度量空间上，具有正边界的f-调和函数(即0fu∆=)是常值。此外，G.He和S.Zhang[5]证明了在具有非负Bakry-ÉmeryRicci曲率的完备光滑度量空间上的f-调和函数新的梯度估计。受这些工作的启发，我们考虑了一个n维完备黎曼流形上的二阶椭圆偏微分方程()nMg,：log,fupuuqu∆=+(1.3)这里f，p，()nqCM∞∈。很明显，公式(1.3)是(1.1)和(1.2)的一般化。本文的主要研究成果如下。首先，我们证明了(1.3)的正解的局部梯度估计。定理1.1：假设()nMg,是一个n-维黎曼流形，在()2Bxρ,上对于0K≥，有()1fRicnK≥−−。这里1ρ≥，且()ux是公式(1.3)的正解。则存在正常值1C和2C使得对于任意常数01ε，我们得到在()Bxρ,上，有：()()()()()122111222211122122412122221121CnKCnCCunuDDnKnnαρερρερεθσηθσθθσε+−−+++∇≤−++++++−+++,−(1.4)特别地，在()1Bx,上，有：OpenAccess王子君DOI:10.12677/aam.2019.84073659应用数学进展()()1221112241222122uDDnnKnDunnθσηθσθθσ∇+≤+++−++++.(1.5)在()2Bxρ,上，对于正常值D，1θ，2θ，1σ，2σ和1η，我们假设(),1:maxfBxrα∂=∆，Due≤，1pθ≤，2pθ∇≤，qσ≤，2qσ∇≤，1fη∇≤。2.理论基础这部分内容，我们主要是陈述由E.Calabi[6](同样参考[2][7])提出的关于cut-off函数的一些结论。选择一个2C函数[)[]001ξ:,+∞→,使得对于01s≤≤有()1sξ=，并且对于2s≥有()0xξ=。此外，对于常值10C和20C，有()()10sCsξξ′−≤≤且()2sCξ′′≥−.在一个n-维黎曼流形()nMg,上，假设()()rxdxx:=,是对于固定点nxM∈的一个距离函数。对于任意的1ρ≥，我们定义cut-off函数：()()()rxxρϕξ=。不失一般性，我们假设在()2Bxρ,内具有支撑集的函数ϕ是2C的(参考E.Calabi[6])。通过计算可以得到，在()2Bxρ,上，2212Cϕϕρ∇≤,(2.1)并且22.ffrrξξϕρρ′′′∆∇∆=+(2.2)如果对于一些非负常数K，有()1fRicnK≥−−，并且()()2\1xBxBxρ∈,,，那么由f-Laplacian比较定理(参考[8][9])可以推出：()()()121frxnKαρ∆≤+−−,(2.3)这里(),1maxfBxrα∂=∆。因此，我们可以从公式(2.2)和(2.3)中得出()()()122121fCCxnKϕαρρρ∆≥−+−−−.(2.4)3.梯度估计在这章我们会证明定理1.1。首先需要得出两个公式。引理3.1：假设()nMg,是一个n-维黎曼流形，它满足在()2Bxρ,(1ρ≥)上，对于0K≥，有()1fRicnK≥−−。函数()ux是公式(1.3)的一个正解。如果:loghu=，我们有：2,fhphqh∆=+−∇(3.1)王子君DOI:10.12677/aam.2019.84073660应用数学进展并且()()2222211122fffhhhfphRichhnnhphqhhh∆∇≥∆−∇,∇+∇+∇,∇+∇,∇+∇,∇−∇,∇∇.(3.2)证明：通过uuh∇∇=和(1.3)，我们有222ffuuhphqhuu∆∇∆=−=+−∇.根据柯西不等式，可以得出()()()222222,22,2Hessh2,,fhhhfhhfnhf∆=∆−∇∇≤∆+∇∇≤+∇∇也就是，()22211Hessh,.2fhhfnn≥∆−∇∇(3.3)通过直接计算可以得到()()()()()()()()222222222222211Hessh22HesshHesshHesshHesshHessh1112ffffffhhhffhhRichhhfhhRichhphqhhRichhpnKhhphqhhhhhfphRichhnnhp∆∇=+∆∇,∇−∇∇,∇=+∇∆,∇+∇,∇−∇,∇=+∇∆,∇+∇,∇≥+∇+−∇,∇+∇,∇=+−−∇+∇,∇+∇,∇−∇,∇∇≥∆−∇,∇+∇+∇,∇+∇,∇2hqhhh+∇,∇−∇,∇∇.第二个等式用到了Bochner公式，最后不等式用到了公式(3.3)。现在开始证明定理1.1。定理3.2：假设()nMg,是一个n-维黎曼流形，它满足在()2Bxρ,(1ρ≥)上，对于0K≥，有()1fRicnK≥−−。函数()ux是公式(1.3)的一个正解。对于任意的常数01ε，在()Bxρ,上，有：()()()()()122111222211122122412122221121CnKCnCCunuDDnKnnαρερρερεθσηθσθθσε+−−+++∇≤−++++++−+++,−(3.4)特别地，在()1Bx,上王子君DOI:10.12677/aam.2019.84073661应用数学进展()()1221112241222122uDDnnKnDunnθσηθσθθσ∇+≤+++−++++.(3.5)在()2Bxρ,上，对于正常值D，1θ，2θ，1σ，2σ，1η，我们假设(),1:maxfBxrα∂=∆，Due≤，1pθ≤，2pθ∇≤，1qσ≤，2qma∇≤，1fη∇≤。证明：与第二部分中的内容类似，选择cut-off函数ϕ，我们有()()()()()()()222222222222221122211]221ffffhhhhhphqhhfpnKhnnhphqhhhhhhhhϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∆∇=∆∇+∆∇+∇,∇∇≥∆∇++−∇−∇,∇+−−∇+∇,∇+∇,∇−∇,∇∇+∇∇,∇∇+∇,∇∇−∇,(3.6)这里用到了引理1。定义()2Ghϕ:=∇，假设1x是G的最大值点。我们可以分两种情况讨论：情况1：()()11xBx\Bxρ∈,,。这种情况下，为了简便我们记()()12222:121.CCAnKρραρ=+−−+在点1x，在公式(3.6)两边同时乘以ϕ，应用公式(2.4)，对于任意的01ε，可以得到()()()()()()()333112222232222221222222112222211220121211221[1222]2AGphqhfGpnKGnnhpGqGGGfGAGphqhGpnKGnnnhpqCCGGGGphqfhpGApnKnnnqhnCCGϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕρρεερρ/≥−++−∇−∇+−−∇∇−∇−∇−−∇≥−−+∇+−−+−∇∇−+−+−−+∇∇−≥−+++||+−+∇+++−2pq∇+∇,(3.7)这里用到了柯西不等式和公式(2.1)。我们可以得到()()()2222111221122111222112222DDnCCDGxAnKGxnnnθσηθσθσεθερρ++−≤++++−+++++,(3.8)即在点1x，有()()()()222222111221111122221.1221nDDDnCCnGxAnKGxnnθσθσηθσθεεερρ++≤++++−+++++−−(3.9)回想这样一个结论：对于一些0120aaa,,≥，如果20102aaaa≤+，则王子君DOI:10.12677/aam.2019.84073662应用数学进展2222201121.2422aaaaaaaaa≤++≤++=+因此，我们可以从公式(3.9)得出()1Gx的一个上界。在点1x，()()()1222222111221111222211221nDDDnCCnGxAnKnnθσθσηθσθεεερρ++≤++++−+++++.−−(3.10)注意到()()()()221supsupxBxxBxhhGxρρϕ∈,∈,∇=∇≤,从公式(3.10)可得，在()Bxρ,上：()()11422222211122111222211221unDD