华南理工大学高等数学习题册第10章详细答案

院系班级姓名作业编号1第十章微分方程作业20202020微分方程基本概念1．写出下列条件所确定的微分方程：（1）曲线在点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分；),(yxMxQMQy解：法线方程为，法线与轴的交点()1YyXxy−=−−′x0,YXxyy′=⇒=+由已知02022xXxxyyyyx′+++′==⇒+=（2）曲线上任意点处的切线与线段垂直；(,)MxyOM解：切线的斜率为，线段的斜率为y′OMykx=由已知1,yyyyxx′′⋅=−⇒=−（3）曲线上任意点处的切线，以及点与原点的连线，和轴所围成的(,)MxyMx三角形的面积为常数．2a解：切线方程为，点与原点的连线为()YyyXx′−=−MyYXx=切线与轴即直线的交点，x0Y=0,yYXxy=⇒=−′由已知()222221,2,22yyyxaxyaxyayyyy⎛⎞′⋅−=⇒−=±±=⎜⎟′′⎝⎠2.．求曲线簇所满足的微分方程．12eexxxyCC−=+),(21为任意常数CC解：由已知，两边对自变量求导x12eexxyxyCC−′+=−两边再对自变量求导x122ee2xxyxyCCyxyxy−′′′′′′+=+⇒+=3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为，m且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件．解：由已知，(),00dvmmgkvvdt=−=《高等数学》同步作业册2作业21可分离变量的微分方程1．解微分方程．)(2yyayxy′+=′−解：微分方程即2()dyyayxadx−=+分离变量2dydxyayxa=−+两边积分()()1111dxadydayxaayayayay⎛⎞==−⎜⎟+−−⎝⎠∫∫∫从而()lnlnlnln111ayacyacyxacxaayayay+=+=⇒+=−−−2.求解初值问题：．(1e)tan10,xyy−′++=0πxy==解：微分方程即(1e)tan1xdyydx−+=−分离变量sincos1exydydxy−=−+两边积分()1coscos1e1e1exxxxxdedydxedxy−+−=−=−=−+++∫∫∫∫从而()()lncosln1lncos1xxyecyce−=−+−⇒=+由，0πxy==()()011cos12,cos122xceccyeπ=+=⇒=−=−+3．当时，是比高阶的无穷小量，函数在任意点处的增量0→∆xαx∆)(xy+，且，求．21xxyy+∆=∆α(0)πy=)1(y解：由已知，从而21yyxx∆=∆+20lim1xdyyydxxx∆→∆==∆+分离变量21dydxyx=+两边积分arctan2lnarctanln1xdydxyxcyceyx=⇒=+⇒=+∫∫由，0πxy==arctan0arctan,xceccyeπππ==⇒==院系班级姓名作业编号34．解微分方程．yyyxln=′解：微分方程即lndyxyydx=分离变量lndydxyyx=两边积分lnlnlnlnlnln,lnlncxdydydxyxcycxyeyyyx==⇒=+⇒==∫∫∫5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程．解：由已知()()23,yYyyXx′=−=−当00,,2,2YdyXYyxyyyxyyxydx+′′==−=⇒−==−分离变量dydxyx=−两边积分lnlnlndydxcyxcyyxx=−⇒=−+⇒=∫∫由，23xy==63,6,2ccyx=⇒==6．设有连接的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点，)1,1()0,0(AO和OAOA(,)Pxy曲线弧与直线段所围成的面积为，求曲线弧的方程．OPOP2xOA解：设曲线为()yfx=由已知()()()201,00,11222xyxyytdtxyxyyyx′+−===⇒−=∫微分方程即222,xyyyxyyxxxx′′−⎛⎞′−=−==−⎜⎟⎝⎠从而()()2,2ln2lnydxyxxcxcxxx=−=−−=−∫由，，11xy==()12ln1,1,12lnccyxx=−⇒==−《高等数学》同步作业册4作业22齐次方程1．解微分方程．xyyyxln=′解：令则,yux=,yuxyuxu′′==+微分方程，即xyyyxln=′lnlnyyyuuuxuxx′′===+，分离变量()ln1duuuxdx−=()ln1dudxuux=−两边积分()()ln1ln1ln1dududxuuux−==−−∫∫∫()1lnln1lnln,ln1,cxyuxccxyxex+−=+=+=2．求解初值问题．22()dd0(0),(1)0yxyxxyxy++−==解：令则,yux=,yuxyuxu′′==+微分方程，即22yxydydxx++=2211yyyuuuxuxx⎛⎞′′=++=++=+⎜⎟⎝⎠，分离变量，两边积分21duuxdx+=21dudxxu=+21dudxxu=+∫∫()2222ln1lnln,uuxcyxycx++=+++=由，(1)0y=222010,1,ccyxyx++=⇒=++=3．作适当的变量代换，求下列方程的通解：（1）；2d()dyxyx=+解：令222,11,,11dududuuxyyudxdxdxuu′=+⇒=+=+⇒==++∫∫()arctan,tanuxcyxcx=+=+−（2）；51+++−=′xyxyy解：令，则,xXayYb=+=+15dYYXbaydXYXba−+−+′==++++再令，10,503,2bababa−+=++=⇒=−=−2,3xXyY=−=−院系班级姓名作业编号5再令2111,,111uuuYuXXuuXuuuuu−−−−′′=⇒+==−=+++从而()22211,111uduudXduuuuX+⎛⎞=+=−⎜⎟+++⎝⎠∫∫∫()()22arctan2211ln1arctanlnln,122uuuXcecXu−++=−−=+()()32arctan22223yxecxy+−+⎡⎤=+++⎣⎦（3）．1)2(2=′+yyx解：令，则，分离变量，2uxy=[phone]uuyuu+′′=+=+=222ududxu=+两边积分22222arctan22uududxuxcu+−=⇒−=++∫∫2222arctan,22arctan22xyxyxyxcyc+++−=+−=4．求曲线，使它正交于圆心在轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交()yyx=x是指在交点处两曲线的切线互相垂直）．解：可设在轴上且过原点的任何圆为，x()222xaya−+=则()22222,,220,2xyaxxyaxaxayyyxy+−′′+==−+==由已知曲线应满足()yyx=222222yyxyyxyaxyxxx′=−=−=−+−−−令则，,yux=()()2322212,,,111uduuuudxyuxyuxuxuuuxuu−+′′′==+===−−+()()222212,lnln1lnln1uudxduuuxcxuu+−=−+=++∫∫()22222,1,1uyycxcxycxyuxx⎛⎞==+=+⎜⎟+⎝⎠《高等数学》同步作业册6作业23一阶线性微分方程1．解微分方程．dsindyyxxxx+=解：对照标准的一阶线性微分方程()()d,dyPxyQxx+=()()()()()1sin,,PxdxPxdxxPxQxyeQxedxCxx−⎡⎤∫∫⇒===+⎢⎥⎣⎦∫111lnlnlnsinsinsindxdxxxxxxxxxyeedxCeedxCexdxCxxx−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤∫∫=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∫∫∫1cossinCxxdxCxx−⎡⎤=+=⎣⎦∫2．解微分方程．2d32dyxyxxx+=++解：微分方程即()2d32,dxyxxx=++()23221313322,23232cxyxxdxxxxcyxxx=++=+++=+++∫3．解微分方程．2d(6)20dyyxyx−+=解：观察发现，微分方程等价为2dd3620,,dd2xxyyxyxyyy−+=−=−()()()()()3,,2PydyPydyyPyQyxeQyedyCy−−−⎡⎤∫∫⇒===+⎢⎥⎣⎦∫333ln3ln22dydyyyyyyyxeedyCeedyC−−−−⎡⎤−−∫∫⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∫∫2333211222yydyCyCCyyy⎛⎞⎛⎞=−+=+=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫4．求解初值问题，．dtansecdyyxxx−=00xy==解：对照标准的一阶线性微分方程()()d,dyPxyQxx+=()()tantantan,sec,secxdxxdxPxxQxxyexedxC−−−⎡⎤∫∫⇒=−==⋅+⎢⎥⎣⎦∫，由，lncoslncosseccosxxxcyexedxCx−+⎡⎤=⋅+=⎣⎦∫00xy==cosxyx=院系班级姓名作业编号75．设曲线积分在右半平面（内与路径无关，2()d[2()]dLyfxxxfxxy+−∫)0x其中可导，且，求．)(xf1)1(=f)(xf解：由曲线积分在右半平面（内与路径无关可知，)0x()()1()2()22,()12fxxfxfxxfxfxx′′=+−+=()()1111lnln22221,1,12dxdxxxxxPxQxyeedxCeedxCx−−⎡⎤⎡⎤∫∫⇒===⋅+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫()3212233cyxcxfxxx⎛⎞=+=+=⎜⎟⎝⎠由，1)1(=f()21211,,3333ccfxxx=+⇒==+6．解微分方程．2d3dyxyxyx−=解：微分方程化为21dd1d13,3,3,dddyxxxxxxyxyxyyxyy⎛⎞⎛⎞−=−−=+=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠令为一阶线性微分方程1du,3,duxuxyx=⇒+=−()()()223333223,,xxxdxxdxPxxQxxuexedxCexedxC−−⎡⎤⎡⎤∫∫==−=−⋅+=−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫2222233333222222113113233xxxxxueedxxCeeCCey−−−⎡⎤⎡⎤⎛⎞==−+=−+=−⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦⎣⎦∫《高等数学》同步作业册8作业24全微分方程1．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：（1）；2222(36)d(64)d0xxyxxyyy+++=解：因为且连续，从而该方程是全微分方程2222(36)(64)=12=xxyxyyxyyx∂+∂+∂∂2222322223403d6d64dd3d3d3xxxyxxydyyyxyxxdyy=+++=+++，从而32234d33xxyy⎛⎞=+++⎜⎟⎝⎠3223433xxyyc+++=（2）；0sinsin)coscos(=+−′+yxyyxyx解：方程即()(coscos)sinsin0xyxdyyxydx++−+=因为且连续，从而该方程()sinsin(coscos)=sincos=yxyxyxxyyx∂−+∂+−+∂∂是全微分方程，方程右边为某个函数的全微分，(),uxy即,sinsin,coscosxyuuyxyuxyx∃=−+=+()()cossin,coscoscoscosyuyxxygyuxyxxxygy′=++=+=++()()10,gygyc′⇒==从而微分方程的通解为cossinyxxyc+=（3）．ed(e2)d0yyxxyy+−=解：因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是e(e2)==yyyxyeyx∂∂−∂∂全微分方程，方程右边为某个势函数的全微分，可用曲线积分法求一个来。(),uxy()(),020,000u=ed(e2)d(e2)dexyyxyyyyxxyyedxxyyxy+−=+−=−∫∫∫从而微分方程的通解为2yxeyc−=院系班级姓名作业编号9作业25可降阶的高阶微分方程1．求下列微分方程的通解（1）；sinyxx′′=+解：()211sincos,2yxxdxxxc′=+=−+∫2311211cossin26yxxcdxxxcxc⎛⎞=−+=−++⎜⎟⎝⎠∫（2）；(e