2018年上海高三一模真题汇编——三角比三角函数专题(教师版).docx

12018年一模汇编——三角比三角函数专题一、知识梳理【知识点1】三角比求值【例1】已知是第二象限的角，且acos，利用a表示tan.【答案】aa21.【解析】由是第二象限的角，acos知21sina，2sin1tancosaa.【点评】熟练掌握由tan的值求cos,sin的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.【例2】已知),,0(且51cossin，则tan.【答案】43-.【解析】由51cossin平方得02524cossin2，又由),0(知),2(.则有0cos,0sin.2549cossin21)cos(sin2，得57cossin.有54cos,53sin，所以3tan4.【点评】此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.【知识点2】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式【例1】设12cos(),sin(),2923且,0,22求cos().【答案】－729239.【解析】,0,222,.42422故由1cos(),29得45sin().29由2sin(),23得5cos().2375cos()cos()().222272239cos()2cos()1.2729【点评】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式等在应用时，都比较注重寻求角与角的联系，尤其是建立已知角与所求角的联系.【例2】已知sin(2)2sin0.求证tan3tan().【解析】由题设：sin()+=2sin().即sin()coscos()sin=2sincos()2cossin().∴3sin()cos=sincos()∴tan3tan().【点评】注意题设中的角和结论中角的关系.【知识点3】万能公式【例1】已知),2(,0cos2cossinsin622，求)32sin(的值.【答案】261235.【解析】由0cos2cossinsin622得：26tantan20，则1tan2或2tan3.又),2(，所以2tan3.由万能公式得22tan12sin21tan13，221tan5cos21tan13.知261235)32sin(.【点评】先通过正余弦的齐次式处理方法求出正切值，再根据万能公式得出答案.【知识点4】正余弦定理3【例1】有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,.abc已知03,45,aB______________，求角A．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A试将条件补充完整．【答案】622c.【解析】由060,A045,B得075,C正弦定理sinsinacAC得622c.【点评】此题很容易由sinsinabAB得2b,但答案不能填2b，否则题目中的答案角A算出来有两解不符合题意.【例2】在△ABC中，cba,,分别是CBA,,对边的长.已知cba,,成等比数列，且bcacca22，求A的大小及cBbsin的值.【答案】3A，sin3=2bBc.【解析】由cba,,成等比数列得acb2，则bcacca22化成bcacb222，由余弦定理得212cos222bcacbA，3A.由acb2得bacb，所以cBbsin=233sinsinsinAbBa.【点评】三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关cba,,的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边cba,,平方的和差关系，常联想到余弦定理解题.【知识点5】判断三角形形状【1】在△ABC中，若CABsinsincos2，则△ABC的形状一定是（）A、等腰直角三角形；B、直角三角形；C、等腰三角形；D、等边三角形.【答案】C.【解析】在三角形ABC中：ABBABABACsincos2sincoscossin)sin(sin，则BABABABA0)sin(0sincoscossin.所以△ABC是等腰三角形.4【点评】判断三角形形状一般有两种思路，一是通过角的转化，二是用边的关系。此题也可以通过正余弦定理转化为边的关系去解题.【知识点6】解三角形应用题【例1】如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，12cos13A，3cos5C（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】（1）AB的长为1040米；（2）当3537t(min)时，甲、乙两游客距离最短.【解析】（1）在ABC中，∵12cos13A，3cos5C，∴5sin13A，4cos5C，……2分sinsin[()]5312463sin()sincoscossin13513565BACACACAC…………………………5分由正弦定理sinsinABACCB，得sin1040sinACABCB，……………………………7分所以索道AB的长为1040米………………………………………………………………8分（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d米，此时，甲行走了(10050)t米，乙距离A处130t米，由余弦定理得：222212(10050)(130)2130(10050)200(377050)13dtttttt……11分∵10400130t，即08t，……………………………………………………………12分故当3537t(min)时，甲、乙两游客距离最短……………………………………………14分5【点评】熟练运用正余弦定理，读懂题意，找到函数关系，转化为函数求最值问题.【知识点7】三角函数周期、最值、单调性【例1】函数1cossin32cos2)(2xxxxf的最小正周期为；最大值为；单调递增区间为；在区间]2,0[上，方程1)(xf的解集为.【答案】；2；)](6,32[Zkkk；}2,,0,35,32{.【解析】由1cossin32cos2)(2xxxxf)652sin(22sin32cosxxx.所以函数)(xf的最小正周期为；最大值为2；单调递增区间满足22[652kx，)](22Zkk，即)](6,32[Zkkk；由1)(xf，则21)652sin(x，62652kx或652652kx得3kx或)(Zkkx，又由]2,0[x得解集为}2,,0,35,32{.【点评】欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：)2cos1(21cos),2cos1(21sin22xxxx；引入辅助角（特别注意3，6经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为BxAy)sin(的形式.函数|)sin(|xAy的周期是函数)sin(xAy周期的一半.【例2】已知函数()2sin(sincos),[0,]2fxxxxx，求)(xf的最大值与最小值.【答案】最大、最小值分别为12与0.【解析】函数2()2sin2sincos1cos2sin22sin(2)14fxxxxxxx.由[0,]2x，则32[,]444x，2sin(2)[,1]42x，所以函数)(xf的最大、最小值分别为12与0.6【点评】当自变量x的取值受限制时，求函数)sin(xAy的值域，应先确定x的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定)sin(x的取值范围，并注意A的正负；千万不能把x取值范围的两端点代入表达式求得.【例3】已知函数()2sin()fxx，其中常数0．若()yfx在2[,]43上单调递增，则的取值范围为_______.【答案】2[,]43.【解析】因为0，根据题意有34202432．【点评】本题一个要注意最终答案要加上题干中的0这个条件，另一方面2[,]43其实就只能是[,]22的子区间．【知识点8】三角函数对称性【例1】若函数xxaxfcossin)(的图像关于点)0,3(成中心对称，则a_______.【答案】33.【解析】由xxaxfcossin)(的图像关于点)0,3(成中心对称知0)3(f，33a.【点评】正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点.【例2】已知函数xxf2sin)(，且)(txf是偶函数，则满足条件的最小正数t_______.【答案】4.【解析】)22sin()(txtxf是偶函数，则0x是它图像的一条对称轴.0x时，函数取最大（小）值.12sint，)(22Zkkt.所以满足条件的最小正数4t.【点评】正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y轴且过函数图像的最高点或最低点.7【知识点9】三角函数图像变换【例1】要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象（）A、向右平移个单位；B、向右平移个单位；C、向左平移个单位；D、向左平移个单位.【答案】A【解析】coscosyxxsin[()]sin()2xx，故应选A.【点评】当函数名不一样的时候，可以先通过诱导公式变成同名再作其他变换.【知识点10】三角函数性质综合【例1】已知函数()sin()fxx(0,0)是R上的偶函数，其图像关于点3(,0)4M对称，且在区间[0,]2上是单调函数，求和的值．【答案】223或，2.【解析】由()fx是R上的偶函数，得()()fxfx，即sin()sin()xx，展开整理得：cossincossinxx，对任意x都成立，且0，所以cos0．又0，所以2．由()fx的图象关于点M对称，得33()()44fxfx．取0x，得33()()44ff，所以3()04f，∴333()sin()cos4424f．所以33cos0,0,442k又得，()kN．即2(21),0,1,2,3kk220,,()sin()[0,]3322kfxx当时在上是减函数；1,2,()sin(2)[0,]22kfxx当时在上是减函数；102,,()sin()[0,]322kfxx当时在上不是单