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13.3.2等边三角形第十三章轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时含30°角的直角三角形的性质八年级数学上(RJ)学习目标1.探索含30°角的直角三角形的性质.(重点)2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.(难点)导入新课问题引入问题1如图,将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?分离拼接ACB问题2将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折,如图所示,你有什么发现?讲授新课含30°角的直角三角形的性质一性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图,△ADC是△ABC的轴对称图形,因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°,从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.12你还能用其他方法证明吗?证法1证明:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.延长BC到D,使BD=AB,连接AD,则△ABD是等边三角形.又∵AC⊥BD,已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=AB.21ABCD证明方法:倍长法∴BC=AB.12∴BC=BD.12EABC证明2:在BA上截取BE=BC,连接EC.∵∠B=60°,BE=BC.∴△BCE是等边三角形,∴∠BEC=60°,BE=EC.∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC,∴AE=BE=BC,∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB.12证明方法:截半法知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,ABC∴BC=AB.12√判断下列说法是否正确:1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.例1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是()A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm典例精析注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.D解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例2如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于()A.3B.2C.1.5D.1解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.EC方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.例3如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由.解:1.2CDDB理由如下:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB的平分线,∴∠ADE=∠BDE.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴AD=BD,∠DAE=∠B.∵∠BAD=∠CAD=∠BAC,12∴∠BAD=∠CAD=∠B.∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.∴CD=AD=BD,即CD=DB.121212方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.想一想:图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边?它们所对的锐角分别是多少度?例4如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4cm,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?ABCDEABCDE解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD.1212∴BC=AB=×7.4=3.7(m).1212又AD=AB,12∴DE=AD=×3.7=1.85(m).1212答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.例5已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°,)1212∴CD=AC=×20=10.方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.当堂练习1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为()A.6米B.9米C.12米D.15米2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元BB4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=.55.如图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB=______.ACB83.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=4.则BD=.BCD1第3题图第5题图6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长.解:连接AE,∵DE是AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠EAB=∠B=15°,∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°.∵∠C=90°,∴AC=AE=BE=2.5.12127.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:BE=3EA.证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点,∴AD⊥BC∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE.∴AB=4AE,∴BE=3AE.8.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.拓展提升∴△ADC≌△BEA.证明:∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°,∵CD=AE,∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°,∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵BQ⊥AD,∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°,∴∠BQP=90°,课堂小结内容在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点含30°角的直角三角形的性质找准30°的角所对的直角边,点明斜边注意前提条件:直角三角形中
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