第一章专题

命题点1：三角形相关性质的综合运用◆类型一命题正误的判断1．(2017·贵阳模拟)下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别是1，10，3的三角形是直角三角形；③三个角之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列命题：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②等腰三角形顶角的平分线把它分成两个全等的三角形；③三角形的外角大于三角形的任何一个内角；④若等腰三角形的两边长为2和5，则它的周长为9或12.其中假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个◆类型二新定义与阅读理解型问题3．定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心”．如图①，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．(1)观察并思考，△ABC的准外心有________个；(2)如图②，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝12AB，在图中找出点P，并求出∠APB的度数；(3)已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中找出P点，并求出PA的长．4．若经过三角形某一顶点的直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称该三角形为等腰三角形过该顶点的生成三角形．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，问△ABC是否是生成三角形？请说明理由；(2)如果等腰△DEF有一个内角为36°，那么请你画出简图说明△DEF是生成三角形(要求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角与底角的度数)．◆类型三三角形相关性质与其他性质的综合5．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置．若点B的横坐标为2，则点A′的坐标为()A．(1，1)B．(2，2)C．(－1，1)D．(－2，2)第5题图第6题图6．★(2017·贵阳模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长为____________．命题点2：等腰三角形中易漏解或多解的问题◆类型四求长度时忽略三边关系【易错1】7．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为()A．12B．16C．20D．16或208．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们讨论这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和讨论后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．9．若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________．◆类型五当腰或底不明求角度时没有分类讨论10．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()A．100°B．40°C．40°或100°D．60°11．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为________．12．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________．13．已知三角形纸片ABC中，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，求∠C的度数．◆类型六三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论14．(2017·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝12BC，则△ABC的顶角度数为____________．15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】◆类型七一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】16．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有()A．4个B．6个C．7个D．8个第16题图第17题图17．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．18．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的C点有________个．参考答案与解析1．C2.B3．解：(1)无数解析：∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心，∴△ABC的准外心是AB，BC，AC的垂直平分线上的点，∴△ABC的准外心有无数个．(2)此题分三种情况：①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PB＝2PD.在Rt△PDB中，由勾股定理得PD2＋DB2＝PB2＝(2PD)2，∴PD＝33DB＝36AB，与已知PD＝12AB矛盾，∴PB≠PC；②若PA＝PC，连接PA，同理可得PA≠PC；③若PA＝PB，由PD＝12AB，得PD＝BD＝AD，∴∠APD＝∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.点P如图①所示．(3)∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝BC2－AB2＝4.分三种情况讨论：①若P1B＝P1C，设P1A＝x，则P1B＝P1C＝AC－AP1＝4－x，由勾股定理得x2＋32＝(4－x)2，∴x＝78，即P1A＝78；②若P2A＝P2C，则P2A＝2；③若P3A＝P3B，由图可知此点不可能存在．综上所述，PA＝2或78.点P如图②所示．4．解：(1)△ABC是生成三角形．理由如下：过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝45°，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD.∴△ABD和△ACD是等腰三角形，∴△ABC是生成三角形．(2)如图①，△DEG与△EFG都是等腰三角形．如图②，△DEG与△DFG都是等腰三角形，∴△DEF是生成三角形．5．C6．43或62解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴AC＝12AB，AD＝12AC.由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，∴AC＝33BC＝23，∴AD＝3，AB＝43，∴DB＝AB－AD＝33.若△ABP为等腰三角形，需分三种情况：①当AP＝AB＝43时，∴PD＝AP2－AD2＝35，∴PB＝PD2＋BD2＝62；②当PB＝AB＝43时，△ABP为等腰三角形．③当AP＝BP时，∵PD⊥AB，∴AD＝BD.这与已求出的AD＝3，BD＝33不符，∴此种情况不存在．综上所述，PB＝43或62.7．C8.不正确没考虑三角形的三边关系9.310．C11.120°或20°12．30°或90°解析：设最小角的度数为x，则最大角的度数为x＋45°.当最小角是顶角时，x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得x＝30°，此时三角形顶角的度数为30°；当最大角为顶角时，x＋x＋45°＋x＝180°，解得x＝45°，此时三角形顶角的度数为90°.综上所述，该等腰三角形的顶角为30°或90°.13．解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD有三种情况：①若AB＝BD，则∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝100°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝40°；②若AB＝AD，则∠ADB＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝130°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③若AD＝BD，则∠ABD＝∠A＝80°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝160°，∴∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C的度数为40°或25°或10°.14．30°或150°或90°解析：(1)当BC为腰时，∵AD⊥BC，AD＝12BC＝12AC，∴∠ACD＝30°.如图①，当AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°.如图②，当AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°－30°＝150°.(2)当BC为底时，如图③，∵AD⊥BC，AD＝12BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.15．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①，腰上的高在三角形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，如图②，腰上的高在其内部，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.16．D解析：∵点A的坐标为(2，2)，∴△OAP的边OA＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2，0)和(0，2)；②当OA是腰且O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当OA是腰且A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．故满足条件的点P共有8个．故选D.17．5解析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C点有5个．18．10解析：如图，(1)当BA＝BC时，符合条件的有C1，C2；(2)当AB＝AC时，符合条件的有C3，C4；(3)当CA＝CB时，符合条件的有C5，C6，C7，C8，C9，C10.故符合条件的C点有10个．