河南特色题型专题分类讨论思想在三角形中的运用

河南特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用1．(2017·河南中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．第1题图第2题图第3题图2．★(2017·河南模拟)如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，F是边BC上不与B，C两点重合的动点，直线l垂直平分BF，垂足为点D.当△AFC是等腰三角形时，BD的长为________．3．★(2017·开封一模)如图，在长方形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处．若△CEF为直角三角形，则DE的长为________．4．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′.当E，A′，C三点在一条直线上时，求DF的长．5．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处．当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，求AD的长．6．★如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P为AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处．当△A′DC为等腰三角形时，求AP的长．参考答案与解析1.2＋12或1解析：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当∠B′MC＝90°时，点B′与点A重合，此时M是BC的中点，∴BM＝12BC＝2＋12；(2)如图②，当∠MB′C＝90°时，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝2MB′.由折叠可知BM＝B′M，∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1，∴CM＋BM＝2BM＋BM＝2＋1，∴BM＝1.综上所述，当△MB′C为直角三角形时，BM的长为2＋12或1.2.24或2－12解析：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝AB2＋AC2＝2.分两种情况进行讨论：①当AF＝CF时，∠FAC＝∠C＝45°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，∴BF＝CF＝12BC＝22.∵直线l垂直平分BF，∴BD＝12BF＝24；②当CF＝CA＝1时，BF＝BC－CF＝2－1.∵直线l垂直平分BF，∴BD＝12BF＝2－12.综上所述，BD的长为24或2－12.3.83或8或32－873解析：∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝6，∴AC＝AD2＋CD2＝82＋62＝10.当△CEF为直角三角形时，有三种情况：(1)当点F落在AC上时，∠CFE＝90°，如图①所示．由折叠的性质得EF＝DE，AF＝AD＝8，∴CF＝AC－AF＝2.设DE＝x，则EF＝x，CE＝6－x.在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2＋CF2＝CE2，即x2＋22＝(6－x)2，解得x＝83，即DE＝83；(2)当点F落在AB边上，∠CEF＝90°时，如图②所示．由折叠可知∠DAE＝∠FAE.∵∠D＝∠DAF＝90°，∴∠DAE＝45°，∴△DAE为等腰直角三角形，∴DE＝AD＝8.(3)当点F落在BC边上时，∠C＝90°，如图③所示．由折叠可知AF＝AD＝8.在Rt△ABF中，BF＝AF2－AB2＝27.设DE＝EF＝x，则CE＝6－x，CF＝BC－BF＝8－27.在Rt△EFC中，∵EF2＝EC2＋CF2，即x2＝(6－x)2＋(8－27)2，∴x＝32－873，即DE＝32－873.综上所述，当△CEF为直角三角形时，DE的长为83或8或32－873.4．解：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当F是线段CD上的点时，由折叠可知∠FEA＝∠FEA′.∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF.在Rt△BCE中，由勾股定理得CE＝BC2＋EB2＝（23）2＋42＝27，∴CF＝CE＝27.∵CD＝AB＝6，∴DF＝CD－CF＝6－27；(2)如图②，当F是DC延长线上的点时，同理可得CF＝CE＝27.∵CD＝AB＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋27.综上所述，DF的长为6＋27或6－27.5．解：∵在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，∴AB＝42，∠A＝∠B＝45°.分两种情况讨论：(1)如图①，当A′D⊥AC时，∵AC⊥BC，∴A′D∥BC，∴∠A′＝∠A′CB.设AD＝x，由折叠可知∠A′＝∠A＝45°，A′D＝AD＝x，∴∠A′CB＝45°.又∵∠B＝45°，∴A′C⊥AB.设A′C交AB于点H，由勾股定理易得BH＝22BC＝22，DH＝22A′D＝22x.∵AD＋DH＋HB＝AB，∴AB＝AC2＋BC2＝42，x＋22x＋22＝42，解得x＝42－4，∴AD＝42－4；(2)如图②，当A′D⊥BC时，易知A′D∥AC，∴∠ACD＝∠A′DC.由折叠可知AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC＝4.综上所述，AD的长为42－4或4.6．解：应分三种情况进行讨论：(1)如图①，当A′D＝A′C时，过点A′作EF⊥CD交DC于点E，交AB于点F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB，∴A′A＝A′B.由折叠得AB＝A′B，∠ABP＝∠A′BP，∴△ABA′是等边三角形，∴∠ABP＝30°.∵AB＝2，∴由勾股定理得AP＝233；(2)如图②，当A′D＝DC时，A′D＝2.由折叠得A′B＝AB＝2，∴A′B＋A′D＝2＋2＝4.连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝AB2＋AD2＝22＋42＝25，∴A′B＋A′D＜BD(不合题意)，故这种情况不存在；(3)如图③，当CD＝CA′时，CA′＝2.由折叠得A′B＝AB＝2，∴A′B＋A′C＝2＋2＝4，∴点A′落在BC的中点处．此时∠ABP＝12∠ABA′＝45°，∴AP＝AB＝2.综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP＝233或2.