变化率问题12导数的概念

§3．1.1变化率问题§3．1.2导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图问题1气球膨胀率（一）问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr分析:343)(VVr，（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(VVVrVr为导数概念的引入做铺垫hto问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00t和21t的平均速度v在5.00t这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；在21t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)3．则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212思考：观察函数f(x)的图象平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()fxfxfxxx.注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2=x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f(x)=xx2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy．解：)1()1(22xxy，∴xxxxxy32)1()1(2例2．求2xy在0xx附近的平均变化率。解：2020)(xxxy，所以xxxxxy2020)(xxxxxxxx020202022所以2xy在0xx附近的平均变化率为xx02让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.四、瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况：思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t时的瞬时速度是13.1/ms为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt表示“当2t，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。五、导数的概念设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/注意：（1）函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在奎屯王新敞新疆（2）在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0奎屯王新敞新疆（3）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（4）xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率.（5）0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx000()()limxxfxfxxx（定义的变形）要让学生理解导数概念六、典例分析例3、求y=x2在点x=1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求xy，最后求0limxxy.解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，xxxxy2)(2=2+Δx∴0limxxy=0limx(2+Δx)=2.∴y′|x=1=2.注意：(Δx)2括号别忘了写.例4、求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx例5、（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f根据导数定义，0(2)()fxfxfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得:(6)5f在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．七、引申例6、函数)(xf满足2)1('f，则当x无限趋近于0时，（1）xfxf2)1()1(（2）xfxf)1()21(变式:设f(x)在x=x0处可导，（3）xxfxxf)()4(00无限趋近于1，则)(0xf=___________（4）xxfxxf)()4(00无限趋近于1，则)(0xf=________________（5）当△x无限趋近于0，xxxfxxf)2()2(00所对应的常数与)(0xf的关系。八、课堂小结（1）理解平均变化率、导数的概念。（2）求函数)(xfy的导数的一般方法：①求函数的改变量)()(xfxxfy.②求平均变化率xxfxxfxy)()(.③取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim.补充题目：1.一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为（）Ａ．从时间t到tt时，物体的平均速度；Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t时物体的速度；Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度奎屯王新敞新疆2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度奎屯王新敞新疆解：瞬时速度v=2200(5)(5)(5)5limlimttststtt0limt(10+Δt)=10m/s.∴瞬时速度v=2t=2×5=10m/s.3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.解：瞬时速度v=tttststt)322(3)2(2lim)2()2(lim2200=0limt(8+2Δt)=8cm/s.