河南必考题型专题三角形中的动态变化问题

河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题1．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②、图③.设直尺平移的长度为xcm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为Scm2.当x＝0时，S＝________；当x＝4时，S＝________；当x＝6时，S＝________．2．(2017·南阳新野县模拟)如图①，P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB，BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.(1)连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(2)何时△PBQ是直角三角形？(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP的交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．3．★(2017·南阳唐河县四模)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连接DF，CF.[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系(不用证明)；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长(直接写出结果)．参考答案与解析1．8cm224cm228cm22．解：(1)∠CMQ的大小不变，且∠CMQ＝60°.∵在等边△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°.又由题意得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°.(2)设点P，Q运动时间为ts，则AP＝BQ＝tcm，PB＝(4－t)cm.应分两种情况进行讨论：①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，即4－t＝2t，解得t＝43；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，即t＝2(4－t)，解得t＝83.综上可知，当点P，Q运动时间为43s或83s时，△PBQ是直角三角形．(3)∠CMQ的大小不变，且∠CMQ＝120°.∵在等边△ABC中，BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠PBC＝∠ACQ＝120°.又由题意得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA，∴∠BPC＝∠MQC.∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝120°.3．解：(1)DF＝CF且DF⊥CF.解析：∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，∴DF＝12BE，CF＝12BE，∴DF＝CF.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF.∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF.同理得∠CFE＝2∠CBF，∴∠EFD＋∠EFC＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，即∠DFC＝90°，∴DF⊥CF，∴DF＝CF且DF⊥CF.(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G.∵∠ADE＝90°，则∠CDE＝90°＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.∵F为BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△GBF，∴DE＝GB，DF＝GF.∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝DE，∴AD＝GB.∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC.∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．∵DF＝GF，∴DF＝CF且DF⊥CF.(3)CF＝102.解析：延长DF交BA于点H.∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE，∴∠AED＝∠ABC＝45°.由旋转可得∠CAE＝∠BAD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF.∵F是BE的中点，∴EF＝BF.∵∠EFD＝∠BFH，∴△DEF≌△HBF，∴DE＝HB，DF＝HF.连接CH，CD，∵CB＝CA，∠CAD＝90°－∠BAC＝45°＝∠CBH，AD＝DE＝HB，∴△ADC≌△BHC，∴∠ACD＝∠BCH.∵∠BCH＋∠HCA＝90°，∴∠ACD＋∠HCA＝90°，即∠DCH＝90°.又∵DF＝FH，∴CF＝DF.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝4.∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3.在Rt△HAD中，由勾股定理得DH＝10，∴DF＝102，∴CF＝102.