定积分的简单应用第1课时

§1.7.1定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。（2）例题1计算由曲线22,yxyx所围图形的面积S。1DCBA1y2=xy=x2Oxy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、范围，借助几何直观，将所求平面图形面积看成位于x轴上方的两个曲边梯形面积之差；引入课题1BA1y2=xOxyAy=x21B1Oxy师：第二步，确定积分上、下限，即通过解方程组求出交点的横坐标，进而确定被积函数和积分上、下限(本例中需将曲线2yx的解析式进行变形，得到yx，由于所围图形在x轴上方，因此取yx)；y=xA1B1Oxy解方程组22yxyx得交点的横坐标为0x及1x。师：第三步，写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积因此，所求图形的面积为1203131200dd2133213313OABCOABDSSSxxxxxx曲边梯形曲边梯形10师：我们解决这样问题的一般解题方法和步骤是？生（总结）：①一般先画出它的草图．②借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．③利用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()fx和()gx在区间,ab上连续且在,ab上有()()fxgx,板书解题详细步骤，规范学生的解题格式。结合例题，对解题步骤进行归纳总结，使学生明确利用定积分求平面图形面积的基本步骤。简单的证明可以留给学生作为课外联系。那么由y＝f(x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的有界区域面积为b[()()]daAfxgxx＝b()dafxx－b()dagxx－＝Ay=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()yfx与()ygx的均在x轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()yfx或()ygx在x轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。师：更一般的，若函数()fx和()gx在区间,ab上连续,那么由y＝f(x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的有界区域面积为b()()daAfxgxx。但是仍然去绝对值后转化为分出()fx和()gx的大小解决。二、例题2例题2计算由直线4yx，曲线2yx以及x轴所围图形的面积S。师：仿照上题的思路，能够解决这个题目。生：可以。生：思考，计算，对比课本的解答。师：巡视。师：本题还有其他的解法吗？生：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差8805402d(4)d3Sxxxxy=2xxOyx=y+4xOy师：本题还可以将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y为积分变量，还需要把函数4yx变形为4xy，函数2yx变形为22yx。x=y+4xOyy22xOy这时候，把例题2转化成例题1的图形。2440040(4)dd23ySyyy师：比较这些解法，你有什么想法？生：比较这些解法可以发现．利用定积分求平面图形面积时，适当地分割图形或适当地选择积分变量可以简化解题过程．如果发现其他解法，记录展示。教学中．可以引导学生得出不同的解法并进行比较．选择x作为积分变量则作为x－型计算，选择y作为积分变量则作为y－型计算。三、实践新知练习：1.计算曲线2xy和24xy所围的图形面积。体会如何灵活处理x－型区域问题与y－型区域问题－2412x=4－y2x=y2Oyx解法一（按x－型计算）：联立224xyxy，解得22,22xxyy。如图，由对称性12SS,410()dSfxx，其中被积函数,02()4,24xxfxxx∴24102d4dSxxxx其中3113222222',4'(4)33xxxx∴24332212022824333Sxx，∴116223SS解法二（按y－型计算）：联立224xyxy，解得22,22xxyy。∴2222222232(4)d(42)d2162433Syyxyxyy2．求抛物线2yx与直线230xy所围成的平面区域的面积。91x－2y－3=0y2=xOyx解法一：所给的区域不是一个规范的x-型区域，如图，为了便于计算需将其图形进行分割,即可化成两个x-形区域的面积问题。91x－2y－3=0y2=xOyx联立方程组得2230yxxy，解得121,9xx，∴1104[()]3Sxxdx，921328[()]23xSxdx∴总面积12323SSS解法二：以y为积分变量，区域看成是y－型区域求解。联立方程组得2230yxxy，解得121,3yy，∴32132(23)d3Syyy四、巩固新知1.P65练习(1)(2)总结归纳1.利用定积分求平面图形面积的基本步骤：①一般先画出它的草图．②借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．③利用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积．2．若函数()fx和()gx在区间,ab上连续,那么由y＝f(x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的有界区域面积为b()()daAfxgxx3.利用定积分求平面图形面积时，适当地分割图形或适当地选择积分变量可以简化解题过程．选择x作为积分变量则作为x－型计算，选择y作为积分变量则作为y－型计算。布置作业1．P67习题1.7A组12．P68习题1.7B组1、2、3设计反思如果特色班在学习例题1的时候，可以由学生总结规律。例题2以及练习，教师特别应该强调清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。这个地方可以由老师帮助学生归纳。（基础题）1.如右图，求直线23yx与抛物线2yx所围成的图形面积。解：由方程组223yxyx，可得121,3xx，故所求面积为3322311132(23)d333Sxxxxxx2.如图所示，阴影部分面积是（）(A)23(B)23(C)323(D)353答案：C解释：1123233132(32)d333xxxxxx3.由曲线1xye和x轴、直线0x、3x所围成图形的面积为答案：31ee解释：如图所示，3331121001dxxeSexeeee4.由曲线64xy和x轴所围成的图形面积为答案：144解释：如图所示，曲线64xy与x轴交点为(24,0)，与y轴交点为(0,6)，∴124(24)61442S5.由曲线lnyx和直线2,2xy所围成的图形面积为y=x2y=2x+3xyO(-3,-6)(1,2)y=3-x2y=2xOxy311y=ex-1x=3Oyxx11y=x4-6Oy答案：22922ee解释：如图所示，曲线lnyx与2y的交点为2(,2)e，∴2222221ln(2)d(ln2)d2eeeSxxxxxx22922ee（中等题）6.求由曲线1sin2yx和1sin2yx所围成的图形在区间0,上的面积。答案：1解释：如图所示，001111sinsindsinsind2222Sxxxxxx0112coscos122xx7.求曲线1xy及直线,3yxy所围成的平面图形的面积解释：先求交点坐标，由1xyyx得交点(1,1)A，以y为积分变量，求面积3321111dln4ln32Syyyyy（难题）8.2204dxx的值为（）(A)2(B)1(C)(D)以上都不对答案：C解释：由定积分的几何意义可知，所求的为圆224xy的第一象限的面积2124S9.在曲线2(0)yxx上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。解：如右图，设切点00(,)Axy，由'2yx，过点A的切线方程为0002()yyxxx，即2002yxxx。令0y，得02xx，即0,02xC。设由曲线和过A点的切线及x轴所围成的图形面积为S，0023300011d=33xxAOBSxxxx曲边△，x=2y=-2y=lnxx11OyOxyxy=111y=3y=xxyOB11CAy=x2xyO230000111()2224ABCxSBCABxxx△，即：3330001111341212Sxxx，∴01x，从而切点(1,1)A，切线方程为21yx。