导数与函数的单调性极值最值高三数学课件

3.2导数与函数的单调性、极值、最值知识梳理(2)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则有在区间[a,b]上恒成立.(3)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则有在区间[a,b]上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f'(x)在该区间内.-2-知识梳理双基自测2311.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内;②如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内;③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是.单调递增单调递减常数函数f'(x)≥0f'(x)≤0不变号知识梳理-3-知识梳理双基自测2312.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f'(x0)=0,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①确定函数的定义域,并求f'(x);②求方程的根;f'(x)0f'(x)0f'(x)0f'(x)0f'(x)=0知识梳理-4-知识梳理双基自测231③检查方程的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.f'(x)=0极大值极小值知识梳理3.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在区间[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤.①求f(x)在区间(a,b)内的;②将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.-5-知识梳理双基自测231f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)0.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)导数为零的点不一定是极值点.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√6知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案解析解析关闭设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)内,f'(x)0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)内,f'(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.答案解析关闭D6知识梳理-8-知识梳理双基自测2341563.函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,1)答案解析解析关闭∵f'(x)=2x-2𝑥=2(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥(x0),∴当x∈(0,1)时,f'(x)0,f(x)为减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0,f(x)为增函数.答案解析关闭A知识梳理-9-知识梳理双基自测2341564.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4答案解析解析关闭∵f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.∴f(x)在[-1,0)上是增函数,在(0,1]上是减函数.∴f(x)max=f(0)=2.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测2341565.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为.答案解析解析关闭∵函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,∴f'(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立,∴Δ=4a2-36≤0,解得-3≤a≤3.答案解析关闭[-3,3]知识梳理-11-知识梳理双基自测234156答案解析解析关闭由题意知,只在x=-1处f'(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.答案解析关闭16.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为.-12-考点1考点2考点3考点1导数与函数的单调性(多考向)考向一讨论函数的单调性或求单调区间例1(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2a-2.1𝑥思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?-13-考点1考点2考点3(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1𝑥2-1+𝑎𝑥=-𝑥2-𝑎𝑥+1𝑥2.①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.②若a2,令f'(x)=0,得x=𝑎-√𝑎2-42或x=𝑎+√𝑎2-42.当x∈0,𝑎-√𝑎2-42∪𝑎+√𝑎2-42,+∞时,f'(x)0;当x∈𝑎-√𝑎2-42,𝑎+√𝑎2-42时,f'(x)0.所以f(x)在0,𝑎-√𝑎2-42,𝑎+√𝑎2-42,+∞单调递减,在𝑎-√𝑎2-42,𝑎+√𝑎2-42单调递增.-14-考点1考点2考点3(2)证明：由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1x2,则x21.由于𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2=-1𝑥1𝑥2-1+aln𝑥1-ln𝑥2𝑥1-𝑥2=-2+aln𝑥1-ln𝑥2𝑥1-𝑥2=-2+a-2ln𝑥21𝑥2-𝑥2,所以𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2a-2等价于1𝑥2-x2+2lnx20.设函数g(x)=1𝑥-x+2lnx,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)0.所以1𝑥2-x2+2lnx20,即𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2a-2.-15-考点1考点2考点3考向二已知函数单调性求参数的取值范围例2已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax+b.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;(2)若φ(x)=𝑚(𝑥-1)𝑥+1-f(x)在区间[1,+∞)内是减函数,求实数m的取值范围.思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么?-16-考点1考点2考点3解(1)∵f(x)=lnx,∴f'(x)=1𝑥.又f(x)与g(x)在x=1处相切,∴f'(1)=1=12a,即a=2.又g(1)=f(1)=0=12a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1.(2)∵φ(x)=𝑚(𝑥-1)𝑥+1-f(x)=𝑚(𝑥-1)𝑥+1-lnx在[1,+∞)内是减函数,∴φ'(x)=-𝑥2+(2𝑚-2)𝑥-1𝑥(𝑥+1)2≤0在[1,+∞)内恒成立,即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)内恒成立.∴2m-2≤x+1𝑥,x∈[1,+∞).∵x+1𝑥∈[2,+∞),∴2m-2≤2,即m≤2.故实数m的取值范围是(-∞,2].-17-考点1考点2考点3解题心得1.利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法(1)方法一:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x);③解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)方法二:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;-18-考点1考点2考点3④确定f'(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.要特别注意的是,涉及含参数的单调性或单调区间的问题,一定要弄清参数对导数f'(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.-19-考点1考点2考点32.由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法(1)可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)0(或f'(x)0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.-20-考点1考点2考点3①若a=1,求函数f(x)的单调区间;②若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.(2)已知函数f(x)=3𝑥𝑎-2x2+lnx,其中a为常数.对点训练1(1)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,讨论f(x)的单调性;-21-考点1考点2考点3解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)0.故f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.③若a0,则由f'(x)=0得x=ln-𝑎2.当x∈-∞,ln-𝑎2时,f'(x)0;当x∈ln-𝑎2,+∞时,f'(x)0.故f(x)在-∞,ln-𝑎2上单调递减,在ln-𝑎2,+∞上单调递增.-22-考点1考点2考点3(2)①若a=1,则f(x)=3x-2x2+lnx的定义域为(0,+∞),故f'(x)=1𝑥-4x+3=-4𝑥2+3𝑥+1𝑥=-(4𝑥+1)(𝑥-1)𝑥(x0).当x∈(0,1)时,f'(x)0,即函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0,即函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).②由题意可知f'(x)=3𝑎-4x+1𝑥.若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,即3𝑎-4x+1𝑥≥0或3𝑎-4x+1𝑥≤0在区间[1,2]上恒成立,即3𝑎≥4x-1𝑥或3𝑎≤4x-1𝑥在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-1𝑥,因为函数h(x)在[1,2]上单调递增,所以3𝑎≥h(2)或3𝑎≤h(1),即3𝑎≥152或3𝑎≤3,解得a0或0a≤25或a≥1.所以a的取值范围是(-∞,0)∪0,25∪[1,+∞).-23-考点1考点2考点3考点2求函数的极值例3已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?-24-考点1考点2考点3解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-𝑎𝑥.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f'(x)=1-2𝑥(x0),可知f(1