函数的极值与导数

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图创设情景观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()ht在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数()ht的图像，如图3.3-9．可以看出()ha；在ta，当ta时，函数()ht单调递增，()0ht；当ta时，函数()ht单调递减，()0ht；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，()0ht）后减（ta，()0ht）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()ht先正后负，且()ht连续变化，于是有()0ha．对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号奎屯王新敞新疆利用教材在§3.3.1中的例1引入函数的极值概念①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0f；y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0fx；y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0fx；提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负：学生模仿完成考虑到极值与最值容易混淆，学生对已有知识的同化易接受，我们以§3.3.1中的例1引出极值的概念，具体直观，同时对极值与最值区分是一目了然的。概念抽象y=f(x)在定义域上可导，①若'()0fa，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足'()0fx；在x=a附近的右侧满足'()0fx，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值②若'()0fb，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足'()0fx；在x=b附近的右侧满足'()0fx，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值由具体函数图像抽象上升到一般极值概念函数极值概念强化练习概念判断练习：（１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值（２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的（３）函数某区间上的极大值一定大于极小值（４）函数的极值点，导数一定为零（５）导数为零的点一定是函数的极值点答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错深化学生对函数极值的概念，以及函数取极值与'()0fa的逻辑关系极值概念理解的总结提高（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小奎屯王新敞新疆并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小奎屯王新敞新疆（ⅱ）函数的极值不是唯一的奎屯王新敞新疆即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个奎屯王新敞新疆（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系奎屯王新敞新疆即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf，如下图f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy如何判别f(x0)是极大、极小值填空：（1）若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数________，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，（2）如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的_______点，)(0xf是_______；（3）如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的_______点，)(0xf是_______.让学生总结判断极值的方法。（１）异号；（２）极大值；极大值；（３）极小值；极小值例题精讲１、看图识极值（点）f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy说出极值点与相应的极值２、求函数的极值（点）例1．（课本例4）求31443fxxx的极值奎屯王新敞新疆解：因为31443fxxx，所以'24(2)(2)fxxxx。令'0fx，得2,2xx下面分两种情况讨论：（1）当'fx0,即2x，或2x时；（2）当'fx0,即22x时.当x变化时，'fx，fx的变化情况如下表：x,2—2(-2,2)22,y+0－0+加强对极值（点）的函数图像理解与认识f(x)=13x3-4x+42-2xOyy↗极大值283↘极小值43↗因此，()极大值fx=28(2)3f；()极小值fx=4(2)3f。函数31443fxxx的图像如图所示。对教材例1的处理方式：要求阅读教材解析，模仿练习。以眼动、心动、手动的方式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。例2、求y=(x2－1)3+1的极值奎屯王新敞新疆解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2,令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1奎屯王新敞新疆当x变化时，y′，y的变化情况如下表奎屯王新敞新疆x,1-1(-1,0)0(0,1)11,y－0－0+0+y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0例3、设32()fxaxbxcx，在1x和1x处有极值，且(1)f=－1,求a，b，c的值，并求出相应的值。解：2'()32fxaxbxc，∵1x是函数的极值点，则－1,1是方程'()0fx的根，即有211313baca⇒03bca，又(1)1f，则有1abc，由上述三个方程可知12a，0b，32c，此时，函数的表达式为313()22fxxx，∴233'()22fxx，令'()0fx，得1x，当x变化时，'()fx，()fx的变化情况表：x,1-1(-1,1)11,y+0－0+y↗极大值1↘极小值－1↗通过例题与练习加深对极大、极小值概念的理解，以及熟悉求函数极值的方法与步骤由上表可知，13(1)122极大值f，13(1)122极大值f拓展练习、若函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf有极值34，（1）求函数的解析式；（2）若函数kxf)(有3个解，求实数k的取值范围．解：baxxf23（1）由题意：3442820122bafbaf解得431ba所求解析式为44313xxxf（2）由（1）可得：2242xxxxf令0xf，得2x或2x当x变化时，xf、xf的变化情况如下表：x2,22,22,2xf0—0xf单调递增↗328单调递减↘34单调递增↗因此，当2x时，xf有极大值328当2x时，xf有极小值34y=k函数44313xxxf的图象大致如图：由图可知：32834k方法小结求函数极值的方法与步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)奎屯王新敞新疆(2)求方程f′(x)=0的根奎屯王新敞新疆(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，3432822yx0那么f(x)在这个根处无极值奎屯王新敞新疆课后练习1、函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆充分条件B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆必要条件C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆充要条件D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆必要非充分条件答案D对于3'2'(),()3,(0)0,fxxfxxf不能推出()fx在0x取极值，反之成立2、函数()323922yxxxx=---有（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆极大值5，极小值27B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆极大值5，极小值11C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆极大值5，无极小值D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆极小值27，无极大值答案C'23690,1,3yxxxx得，当1x时，'0y；当1x时，'0y当1x时，5y极大值；x取不到3，无极小值3、函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1个B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.c