立体几何中的向量方法第3课时

§3.2.3利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：向量法与坐标法.【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.2．平行与垂直关系的向量表示。为学习新知识做准备.二、探究新知一、用向量处理平行问题分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量MN用向量BCBE,线性表示出来。例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。ADCBEFNM1:,,.//ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。（图略）分析：面面平行线面平行线线平行。评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。思考：一般应如何建立空间直角坐标系？二、用向量处理垂直问题联系共线向量来理解。例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。,,.FBANAC存在实数使FM()()()(1).MNMFFAANBFEBACBEBAABADEBBEADEBBEBCBEBEBC:,,,BEABFMANFBAC证明在正方形ABCD与ABEF中,11111:,,DADCDDxyz证明如图分别以、、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)ABCDDBC1则则A1111111111111//.////.//.//.ADBCADBCADCBDABCBDABDCBD即直线，则平面同理右证：平面平面平面.,//MNBEBCMEBCMNEBC、、共面平面平面11111112.-,://ABCDABCDABDCBD例在正方形中求证平面平面:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面ABCDO（图略）分析：线面垂直线线垂直。评注：本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。例4，证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，AB，A为垂足，OACDCD,求证：OBCD证明：0OACDOACDAB0ABCDABCDABOAOB0)(ABCDOACDABOACDOBCDABCD让学生体会坐标法的优势。用向量法证明三垂线定理。,,''DADCDDxyzA证明:如图取分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)'(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)'(1,1,2)(2,2,0)0,'(1,1,2)(0,2,1)0',',.'AFDBDEAFDBAFDEAFDBAFDEDBDEDAFBDE又平面A'B'CBC'A三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题：向量法：所以，结论成立。坐标法：证明：（图略）巩固知识，培养技能.四、小结利用向量解决平行与垂直问题1．向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。2．坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起来使用。反思归纳五、作业1，直三棱柱111CBAABC中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝2，侧棱1AA=1，侧面BBAA11的两条对角线交点为D，11CB的中点为M，求证CD平面BDM。.2/1,0,0,,',1cbcabaACcABbAAa设证明：设底面边长为bacCCACBABCabBBABABacACAACA''''''2222(2)()(2)()22110caabbaabbaaabbab).,1,0('),,1,0('),,0,3(').0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,,2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为2220''31,2.''020.''ABAChhABBChBCAB'''''',''ABCABCAAABCACABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：220''()()12ACABcabacbcaabaacb2，课本p.116第2题。练习与测试：（基础题）1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则（）A．+－B．－+C．－++D．－+－答：D2，若向量、（）A．B．C．D．以上三种情况都可能答：B3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．证明：.又，即.……①.又，即.……②由①+②得：即..4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)∵E为AB的中点，F为PC的中点∴E(a,0,0)，F(a,b,c)(1)∵＝(0,b,c)，＝(0,0,2c)，＝(0,2b,0)∴＝(＋)∴与、共面又∵EÏ平面PAD∴EF∥平面PAD．(2)∵＝(-2a,0,0)∴·＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0∴CD⊥EF．（较难题）5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。分析要证明EF、BC、AD平行于同一平面DF（E、F分别为AB、CD的中点），只要证明相应AEC向量EF与AD、BC共面即可。B证明：如图，利用多边形加法法则可得，EF=EA+AD+DF，EF=EB+BC+CF…①。又E、F分别是AB、CD的中点，故有EA=-EB，DF=-CF…②将②代入①后，两式相加得2EF=AD+BC，∴EF=12AD+12BC即EF与BC、AD共面，∴EF与AD、BC平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。6，如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。证明：在α内作不共线向量m,nb∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn。a两边同乘a得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·nm∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0n得x·a·a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn∴b、m、n为共面向量，又b￠α,b∥α。7，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E=2EB，CF=2AF，求证：EF∥平面A1B1CD。D1C1证明：EF=EB+BA+AF…（1）EF=EA1+DA1+DC+CF…（2）A1B1（1）×2+（2）并注意到1EA=-2EB，DCCF=-2AF，BA=-DC，FE得EF=13DA1-13DCAB而EF￠平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD。∴EF，DA1、DC为共面向量。