2017-2018年高考数学总复习：参数方程

2017-2018年高考数学总复习:参数方程参数方程消参：t为参数：代入法；22cossin1为参数：；考点一。参数方程化普通方程（1）求普通方程:（1）x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)；（2）x＝sinα，y＝cosα＋1(α为参数)；解：（1）的普通方程为2x＋y－6＝0.（2）曲线C：x2＋(y－1)2＝1。（3）若斜率为1的直线过C：28,8.xtyt的焦点，且与圆2224xyr相切，求r。解：抛物线的方程为xy82，焦点坐标是)0,2(F，所以直线的方程是2xy，圆心到直线的距离为r=2.（4）直线x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)与圆x＝4＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)相切，求直线的倾斜角α。解：直线y＝xtanα=kx，圆：(x－4)2＋y2＝4，则214d2kk，即33k，∴α＝π6或5π6.（5）圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22，设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．解：圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.由x2＋y－22＝4，x＋y－4＝0，得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1，所以b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a＝－1，b＝2.考点二.普通方程化参数方程直线：上任意点的向量）与）（过倾斜角，l:t,P:(sincostxPbaltbya圆：sincosrxrbya椭圆：sincosxbya双曲线：tancosxbya抛物线：ptyt2p2x2（1）求参数方程:（1）x24＋y29＝1；（2）设直线经过点(1,5),倾斜角为；(3)x=1；解：（1）曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．（2）直线的参数方程为(t为参数)(3)点p）（0,1,2,则参数方程为：tyt2sin02cos1x，即为参数）tty(1x。（4）P,Q都在为参数）ttyt(sin2cos2x上，对应的参数分别为2,tt，M为PQ中点，求：（1）M轨迹的参数方程；（2）M到原点的距离为d的函数，判断d是否过原点？解：（1）)2sin2,2cos2(),sin2,cos2PQ（，则为参数）：(2sinsin2coscosxMy；（2）0cos22)2sin(sin)2cos(cos22d，则，故过原点。考点三。圆与直线，圆与圆命题点1.圆与直线，圆与圆弦长：（AB２２＝２ｒ－ｄ）（1）已知曲线C：ρ=6sinθ，直线l：为参数），则直线l与曲线C相交所得的弦的弦长为．解：曲线C：9)3(,6x2222yxyy即，直线l:x-2y+1=0，则4592,55132-0dAB。（2）圆C：22(6)25xy，直线l：cossinxtyt（t为参数）,l与C交于,AB，||10AB，求l的斜率．解：直线：y=kx,16d2kk,101k36-25222k,则315k。（3）为参数）：ttyat(22xC1，为参数）：(sin21cos2xC1y，若C1、C2有公共点，求a的取值范围．解：直线：x+2y-2a=0,曲线：4)1(x22y，则5151,24122daa。（4）已知曲线1C：sin10cos102yx（为参数），曲线2C：sin6cos2，求相交弦长．解：由sin10cos102yx得10)2(22yx∵sin6cos2∴sin6cos22，∴yxyx6222，即10)3()1(22yx∴曲线2C的直角坐标方程为10)3()1(22yx，两圆公共弦所在直线方程：两圆方程相减即：x+y-1=0,d=2229-102AB23，.命题点2：直线与圆，圆与圆距离最值：（圆心到直线距离ｒ，两圆心距ｒ）（1）设点A，B分别在曲线1C：3cos4sinxy（为参数）和曲线2C：1上，则||AB的最小值为．解：曲线1C的方程是22(3)(4)1xy，曲线2C的方程是221xy，两圆外离，所以||AB的最小值为2234113．（2）求1C：1)1x22y（上一点到2C：1222(112xttyt为参数）的最小距离。解：C2化成x+y-22-1=0，由几何性知：距离最小=d-r=11-222.考点四。参数方程应用命题点1：用直线参数方程t求距离：（提示：直线l与曲线Cj交于A,B两点：1.如果直线无参数方程，先求参数方程：ｘ＝ａ＋ｔｃｏｓ（ｔ为参数）ｙ＝ｂ＋ｔｓｉｎ，l过P（a,b）,倾斜角，t:P与l上任一点向量；2．如果有参数方程先化为标准型：２２２２ｍｔｘ＝ａ＋ｘ＝ａ＋ｍｔｍ＋ｎｙ＝ｂ＋ｎｔｎｔｙ＝ｂ＋ｍ＋ｎ（t为参数）2.将参数方程代入曲线一般式方程，整理成关于t的一元二次方程；3．判断点P与曲线位置关系：１２ｃＰＡＰＢ＝ｔｔ＝ａ，２１２１２１２ＡＢ＝ｔ－ｔ＝（ｔ＋ｔ）－４ｔｔ；120+M=-22abｔｔＰ＝ｔ＝(M为AB中点);１２ｂＰＡ＋ＰＢ＝ｔ＋ｔ＝－ａ（点在曲线外）；１２ＰＡ＋ＰＢ＝ｔ－ｔ（点在曲线内））（1）l：（t为参数），C：，设C与l交于点A、B，若点P，求|PA|+|PB|．解：圆：5)5(x22y，将l参数方程代入：0423t2t，则|PA|+|PB|=23t21t.（2）已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，设l与圆422yx相交与两点,AB，求PBPA的值.解：直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt．把直线312112xtyt代入422yx，得22231(1)(1)4,(31)2022tttt，122tt，则PBPA=2．（3）已知l:01)sincos（,曲线为参数）：(sin3cos2xCy，若l与x轴的交点为P，l与C交点为A,B，求PBPA的值。解：l:x-y+1=0,则P（-1,0），倾斜角为：4，故l参数方程为：为参数）ttyt(22221x，C化为：134x22y，将l代入曲线C中，0932t271222(4)t221-3222tt，即）（，故PBPA718t21t。（4）过点)23,23(P且倾斜角为直线l与曲线1:22yxC交于两点NM,.求PNPM11的取值范围.解：sin23cos23tytxt(为参数）sin23cos23tytxt(为参数）代入122yx，得02)sin3cos3(2tt，36)6sin(0，3,2)6sin(32)sin3cos3(1111212121ttttttPNPM（5）直线l:tyt322x(t为参数）与曲线1)2-y(22x交于A,B两点，求AB的值。解：uttyut23222323221-2-)t221-2-2x（代入曲线方程：10,40104u21212uuuuu，则142u4)u(uAB2122121uuu。命题点2。用曲线参数方程求表达式最值：（先求圆，椭圆的参数方程，将其代入表达式，利用三角函数求最值）（1）已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点，求2xy的取值范围。解：设圆参数方程cos1sinxy，22cossin15sin()1xy51251xy.（2）点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值．解：椭圆2213xy的参数方程为3cos(sinxy为参数），设P的坐标为(3cos,sin），其中02.因此313cossin2(cossin)2sin()223Sxy。所以,当6是，S取最大值2。命题点3：用曲线参数方程求点到直线距离最值：（先求圆，椭圆参数方程，将其代入点到直线距离公式，求最值）（1）C：22x1y３，l：22)4(cos，点P为C上的动点，求点P到直线l距离的最小值，并求P坐标。解：直线：x+y-4=0,Pcos,sin)（３,则sin()4cossin4dmin222２３３.当,３３ｓｉｎ（＋）＝１即＝，则Ｐ（，）３６２２。(2)C:194x22y，直线l:tyt222x(t为参数），求过C上任意一点P作与l夹角为30度的直线交l于A点，求PA最大值。解：PA=30sinlPd的距离到，C的参数方程为：sin3cos2xy（为参数），l的一般方程为2x+y=6，则d=56sin3cos22=56)(sin5max=511.故PAmax=5522.命题点4：用曲线参数方程求两点距离最值：（必须一个动点，一个定点，椭圆参数方程代入两点距离公式）(1)已知极坐标方程：５＋４ｃｏｓ＋＝０２的曲线C上点A，椭圆２２ｙｘ＋＝１９上点B，求ＡＢ最大值。解：圆：２２３（ｘ＋２）＋ｙ＝２，圆心（-2,0），椭圆参数方程：ｘ＝ｃｏｓｙ＝３ｓｉｎ，代入两点距离公式：２２２ｄ＝（ｃｏｓ＋２）＋９ｓｉｎ＝８ｃｏｓ＋４ｃｏｓ＋１３=２１２７８（ｃｏｓ－）＋４２,当１３６ｃｏｓ＝时，ｄ最大＝，则ＡＢ最大＝ｄ＋ｒ＝２６４２。