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*4.5相似三角形判定定理的证明1.会证明相似三角形判定定理;(重点)2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.(难点)一、情景导入相似三角形的判定方法有哪些?答:(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.怎样证明这些结论呢?二、合作探究探究点:相似三角形的判定定理【类型一】根据条件判定三角形相似如图所示,给出以下条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③ACCD=ABBC;④AC2=AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:在图中已知两个三角形有一对公共角,只要再找一对角相等,或夹公共角的两组对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD,分别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的;④是根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定;③虽然两边对应成比例,但不能得到其夹角相等,所以不能判定两个三角形相似.故选C.方法总结:利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时,一定要注意必须是对应成比例的两边的夹角相等,若不是夹角相等,则不能判定这两个三角形相似.【类型二】探索三角形相似的条件如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD.(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在点P,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由;(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个点P,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个点P,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问在m、n、l满足什么关系时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P?两个点P?三个点P?解:(1)设BP=x,则DP=10-x.若△ABP∽△CDP,则ABCD=BPDP,即94=x10-x,解得x=9013;若△ABP∽△PDC,则ABPD=BPCD,即910-x=x4,此时方程无解.综上,存在这样的点P,此时BP=9013;(2)设BP=x,则DP=12-x.若△ABP∽△CDP,则ABCD=BPDP,即94=x12-x,解得x=10813;若△ABP∽△PDC,则ABPD=BPCD,即912-x=x4,解得x=6.综上所述,存在两个这样的点P,此时BP=6或10813;(3)设BP=x,则DP=15-x.若△ABP∽△CDP,则ABCD=BPDP,即94=x15-x,解得x=13513;若△ABP∽△PDC,则ABPD=BPCD,即915-x=x4,解得x=3或12.综上所述,存在三个这样的点,此时BP=13513,3或12;(4)设BP=x,则DP=l-x.若△ABP∽△CDP,则ABCD=BPDP,即mn=xl-x,解得x=mlm+n;若△ABP∽△PDC,则ABPD=BPCD,即ml-x=xn,得方程x2-lx+mn=0,Δ=l2-4mn.当Δ=l2-4mn<0时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P;当Δ=l2-4mn=0时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个点P;当Δ=l2-4mn>0时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个点P.方法总结:由于相似情况不明确,因此要分两种情况讨论,注意要找准对应边.三、板书设计相似三角形判定定理的证明判定定理1判定定理2判定定理3本课主要是证明相似三角形判定定理,以学生的自主探究为主,鼓励学生独立思考,多角度分析解决问题,总结常见的辅助线添加方法,使学生的推理能力和几何思维都获得提高,培养学生的探索精神和合作意识.
本文标题:相似三角形判定定理的证明1北师大版九年级上册数学教案
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