利用相似三角形测高1北师大版九年级上册数学教案

4.6利用相似三角形测高1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）一、情景导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究探究点一：利用阳光下的影子测量高度【类型一】影子在同一平面上时高度的测量如图所示，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.解：如图，用DC表示人的身高，EC表示人的影长，AB表示旗杆的高度，BC表示旗杆的影长.由题意知DC＝1.6m，EC＝2m，BC＝8m.∵太阳光AC∥DE，∴∠E＝∠ACB.又∵∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DCE.∴ABDC＝BCCE，即AB1.6＝82.解得AB＝6.4（m）.故旗杆的高度是6.4m.方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.【类型二】影子不在同一平面上时高度的测量如图①，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？解：方法一：延长AD，与地面交于点M，如图②.根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，所以ABBM＝CDCM＝FGGH.因为CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m，BC＝4m，所以CM＝103m，所以BM＝BC＋CM＝223（m）.所以AB223＝1.22，AB＝4.4（m）.故这棵树的高是4.4m.方法二：过点D作AB的垂线，交AB于点M，如图③.由题意可知AMDM＝FGGH，而DM＝BC＝4m，AM＝AB－CD＝（AB－2）m，FG＝1.2m，GH＝2m，所以AB－24＝1.22，解得AB＝4.4（m）.故这棵树的高是4.4m.方法三：过点C作AD的平行线交AB于点P，如图④.由题意可知BPBC＝FGGH，而BP＝AB－CD＝（AB－2）m，BC＝4m，FG＝1.2m，GH＝2m，所以AB－24＝1.22，解得AB＝4.4（m）.故这棵树的高是4.4m.方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.探究点二：利用标杆测量高度如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.因为∠EAM＝∠CAN，所以△AEM∽△ACN，所以EMCN＝AMAN.因为AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m，FD＝24m，所以2－1.6CN＝27－2427，所以CN＝3.6（m），所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）.故树的高度为5.2m.方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.探究点三：利用镜子的反射测量高度为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.解：如图，∵∠1＝∠2，∠DCE＝∠BAE＝90°，∴△DCE∽△BAE.∴DCBA＝CEAE，即1.5BA＝1.215，解得BA＝18.75（m）.因此，树高约为18.75m.方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.三、板书设计利用相似三角形测高利用阳光下的影子测量高度利用标杆测量高度利用镜子的反射测量高度通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.