指数函数及其性质习题课

2.1.2指数函数及其性质【习题课】26111.x解不等式补充例016=解：6xRy函数在上是增函数11x解得11(,)原不等式的解集是原不等式等价于20166x201,x化成同底指数幂利用指数函数的单调性化成熟悉的不等式解不等式∴原不等式的解集为解：原不等式可化为28222xx{|24}xxx或2282280xxxx原不等式等价于，即212xyR底数，函数在上是增函数24xx解得，或282122()xx练习1:的解集是22812122xx法：化为75201(,).xxaaaax练习、若且，求的取值范围11()xyaRa解：若则函数在，上是增函数，10(2)xayaR若，则函数在上是减函数，757576+xxaaxxx，解得17(,)617(,+)6axax当时，的取值范围是当0时，的综上取值范围是所述，757576+xxaaxxx，解得指数函数的应用例8截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后，能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后我国人口数最多为多少（精确到亿）？解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后我国人口数为y亿，则答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.=13(1+1%)xy=131.01()x亿20=20=13(1+1%)16()xy当时，亿()(00,1).xfxkakRkaa形如，且；的指数数称为型函函数一、图像问题P803.函数y＝xax|x|(0a1)的图象的大致形状是()【解析】当x0时，y＝ax(0a1)，故去掉A，B；当x0时，y＝－ax，与y＝ax(0a1，x0)的图象关于x轴对称，故选D．P807.函数y＝12|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？【解析】因为|x|＝x，x≥0，－x，x0，所以当x≥0时，函数为y＝12x；当x0时，函数为y＝12－x＝2x，其图象由y＝12x(x≥0)和y＝2x(x0)的图象合并而成.而y＝12x(x≥0)和y＝2x(x0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0)，递减区间是[0，＋∞).P809.函数y＝5－|x|的图象是()【解析】当x＞0时，y＝5－|x|＝5－x＝15x，又原函数为偶函数，故选D．二、图像的应用P8011.方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是____________.【解析】作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，则a≥1或a＝0.三、定义域、值域问题P36【例3】求下列函数的定义域与值域：(1)y＝23－|x|；(2)y＝1－12x.【解析】(1)定义域为x∈R.∵|x|≥0，∴y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1.故y＝23－|x|的值域为{y|y≥1}.(2)∵1－12x≥0，∴12x≤1.由y＝12x，可知x≥0，即定义域为[0，＋∞).又∵012x≤1，∴0≤1－12x1，即0≤y1.∴y＝1－12x的值域为[0,1).P8012.(2015年江苏南京高一检测)设0≤x≤2，y＝4x－12－3×2x＋5，试求该函数的最值.【解析】令t＝2x,0≤x≤2，∴1≤t≤4.则y＝22x－1－3·2x＋5＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12，t∈[1,4].∴y＝12(t－3)2＋12在[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数.∴当t＝3时，ymin＝12；当t＝1时，ymax＝52.故函数的最大值为52，最小值为12.P8111.若函数f(x)＝2221xaxa的定义域为R，则实数a的取值范围是________.【解析】依题意，2221xaxa≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.四、复合函数单调性P375.y＝f(u)，u＝g(x)，函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增________增减________减增________减减________增减减增口诀：同增异减6.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性.P39【课堂演练】1.函数y＝121－x的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)【解析】定义域为R.设u＝1－x，y＝12u.∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，y＝12u在(－∞，＋∞)为减函数，故y＝121－x在(－∞，＋∞)是增函数.故选A．五、指数函数性质的综合应用P38【例3】已知函数f(x)＝3x－13x＋1.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；(3)求f(x)的值域.【解析】(1)证明：由题知f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＋1＝3－x－1·3x3－x＋1·3x＝1－3x1＋3x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)f(x)在定义域上是增函数.证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝223131xx－113131xx＝22(1)31x－12(1)31x＝21122(33)(31)(31)xxxx.∵x1＜x2，∴3x2－3x1＞0,3x1＋1＞0,3x2＋1＞0.∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)为R上的增函数.(3)f(x)＝3x－13x＋1＝1－23x＋1，∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜23x＋1＜2⇒－2＜－23x＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1，即f(x)的值域为(－1,1).P38【变式训练】3.设a＞0，函数f(x)＝2xa＋a2x是R上的偶函数.(1)求实数a的值；(2)求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.【解析】(1)依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即2xa＋a2x＝12xa＋2xa，∴a－1a2x－12x＝0对一切x∈R成立.由此得到a－1a＝0，即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.(2)证明：任取12,(0,)xx，且x1＜x2，由(1),得1()22xxfx则f(x1)－f(x2)＝2x1－2x2＋12x1－12x2＝(2x2－2x1)·12x1＋x2－1.∵0＜x1＜x2，∴2x1＋x2＞1,2x2＞2x1.121012xx∴2x2－2x1＞0，12x1＋x2－1＜0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)f(x2)，即f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.作业•完成练习册指数与指数函数两个课时的练习•预习对数