反证法数学选修22第2章推理与证明人教B版

中国人民大学附属中学2.2.2反证法一．反证法证明命题“设p为正整数，如果p2是偶数,则p也是偶数”，我们可以不去直接证明p是偶数，而是否定p是偶数，然后得到矛盾，从而肯定p是偶数。具体证明步骤如下：假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为整数。可得p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇数，这与假设矛盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明p为偶数。一般地，由证明pq转向证明：qrtt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出q为真的方法，叫做反证法。q例1．证明不是有理数。2证明：假定是有理数，则可设,其中p，q为互质的正整数，22pq把两边平方得到，2q2=p2，①2pq①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于是令p=2l，l是正整数，代入①式，得q2=2l2，②②式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，因此是有理数不成立，于是是无理数.22例2．证明质数有无穷多个。证明：假定质数只有有限多个，设全体质数为p1，p2，p3，……，pn，令p=p1p2p3……pn+1，显然p不含因数p1，p2，p3，…，pn，p要么是质数，要么含有除p1，p2，p3，…，pn之外的质因数。因此质数只有有限多个不成立，于是质数有无穷多个。从上述两例看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性。二．反证法的主要步骤(1)反设：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。(2)归谬：归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。(3)结论：由前两步，得到正确的结论，一点要在前面的基础上肯定结论的真实性。例3．证明1，，2不能为同一等差数列的三项。3证明：假设1，，2是某一等差数列中的三项，设这一等差数列的公差为d，则31=－md，2=－nd，其中m，n为某两个正整数，33由上两式中消去d，得到n+2m=(n+m),因为n+2m为有理数，(m+n)为无理数,33所以n+2m≠(n+m)，因此假设不成立，1，，2不能为同一等差数列中的三项.3例4．平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。证明：假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C，D，考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外两种情况。（1）如果点D在△ABC之内，根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾；（2）如果点D在△ABC之外，根据假设四边形ABCD的四个内角分别是某锐角三角形的内角，即∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角和等于360°矛盾，DCBADCBA综上所述，原题的结论正确。例5、设a3+b3=2，求证a+b≤2证明：假设a+b2，则有a2－b，从而a38－12b+6b2－b3，a3+b36b2－12b+8=6(b－1)2+2.因为6(b－1)2+2≥2，所以a3+b32，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立。例6、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41证明：设(1a)b,(1b)c,(1c)a,141414则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a①164又∵0a,b,c1所以2(1)10(1)24aaaa同理：1(1)4bb1(1)4cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤与①矛盾164∴原式成立。