圆的一般方程教案新人教A版必修2

课题：2.4.1.2圆的一般方程课型：新授课教学目标：1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用新疆学案王新敞教学过程：一、课题引入：问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。二、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．取222,2,2rbaFbEaD得022FEyDxyx①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得44)2()2(2222FEDEyDx②这个方程是不是表示圆？(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为半径的圆；（2）当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示一个点（-2D，-2E）;（3）当0422FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形新疆学案王新敞综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆新疆学案王新敞只有当0422FED时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022FEyDxyx（0422FED）的方程称为圆的一般方程。如2214xy我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征比较明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。(三)、知识应用与解题研究：例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。222214441290244412110xyxyxyxy学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于2214441290xyxy来说，这里的91,3,4DEF而不是D=-4,E=12,F=9.解：例2．（课本例4）求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程新疆学案王新敞解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx∵(0,0),(11AB，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于FED,,的三元一次方程组.即02024020FEDFEDF解此方程组，可得：0,6,8FED新疆学案王新敞∴所求圆的方程为：06822yxyx新疆学案王新敞542122FEDr；32,42FD新疆学案王新敞得圆心坐标为（4，-3）.或将06822yxyx左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22yx,从而求出圆的半径5r，圆心坐标为(4,-3)新疆学案王新敞学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：①、根据提设，选择标准方程或一般方程；②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上2214xy运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程2214xy。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是00,.B43xy由于点的坐标是，MAB且是线段的重点，所以0043,,22xyxy0024,23xxyy于是有①因为点A在圆2214xy上运动，所以点A的坐标满足方程2214xy,即220014xy②把①代入②，得22241234,xy22312y3整理，得x-2M33所以，点的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆22642-2-4-55MOBAyx课堂练习：123p第1、2、3题课堂小结：1．对方程022FEyDxyx的讨论(什么时候可以表示圆)新疆学案王新敞2．与标准方程的互化新疆学案王新敞3．用待定系数法求圆的方程新疆学案王新敞4．求与圆有关的点的轨迹。课后作业：课本124p习题4.1A组第6题,B组第1,2题课后记: