厦门理工学院高数答案练习题第三章---微分中值定理与导数的应用

35高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.1微分中值定理一．选择题1．在区间1,1上，下列函数满足罗尔中值定理的是[A](A)2321fxx（B）211fxx（C）32fxx（D）2132fxxx2．若)(xf在),(ba内可导,1x、2x是),(ba内任意两点，且21xx，则至少存在一点，使得[C]（A）))(()()(abfafbf（ba）；（B）))(()()(11xbfxfbf（bx1）；（C）))(()()(1212xxfxfxf（21xx）；（D）))(()()(22axfafxf（2xa）3．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有[B]（A）212)(xxxf,[1,1]（B）xxf)(,[1,2]（C）254)(23xxxxf,[0,1]（D）)1ln()(2xxf,[0,3]4．设)(xf，)(xg是恒大于零的可导函数，且0)()()()(xgxfxgxf，则当bxa时，有[A]（A）)()()()(xgbfbgxf（B）)()()()(xgafagxf（C）)()()()(bgbfxgxf（D）)()()()(agafxgxf二．填空题1．对函数rqxpxxf2)(在区间],[ba上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的，总是等于2ba2．若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导,则至少存在一点),(ba,使得)()(afbfee))((')(abfef成立363．设()(1)(2)(3)fxxxxx,则()0fx有3个根,它们分别位于区间（0,1）;(1,2);(2,3)内.三．证明题1．当0ab，试证：lnbabbabaa证：令)(xfxln，可知)(xf在],[ba连续，在),(ba上可导由拉格朗日定理可知，存在),(ba使得ababababflnlnln)(1))(('又ba0，所以ab111，且0)(ab，即lnbabbabaa。得证2．证明：arcsinarccos2xx证明：令xxxfarccosarcsin)(则)(xf在]1,1[上可导，且01111)(22'xxxf所以，cxf)(（c为常数），又'(1)arcsin1arccos1022f，故arcsinarccos2xx3．证明方程510xx只有一个正根.证:令5()1fxxx，则()fx在R上连续，且(1)10,(0)10ff由闭区间上连续函数的性质可知，存在(0,1)，使得()0f。即()fx有一正根。又假设另有一个正根1,则0)(1f，（不妨设10），而)(xf在],[1上连续，在),(1可导，所以由罗尔定理可知，存在2),(1，使得0)(2f，但014)(4xxf矛盾，假设不能成立。所以。。。37高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.2洛比达法则一．填空题1．0limsinxxxeex22．axaxax33lim623a3．323211lim231xxxxxx=234．0lntan3limlntan5xxx=15．1lim(1)tan2xxx=26．10limxxxe7．下列极限能够使用洛必达法则的是C：（A）bxxxsin11lim1；（B）21limxxx；（C）)arctan2(limxxx；（D）xxxxsin1sinlim20的值，二、判断题：（正确的括号内打“√”，错误的在括号内打“×”）1．sin1coslimlimsin1cosxxxxxxxx（不存在）[×]2．2000cossincoslimlimlim122xxxxxxexexexxx[×]三．计算题1．cos0lim1sincosxxxexx2．30arcsinlimsinxxxxcoscos0sinlimcossinxxxexxexx30arcsinlimxxxx220111lim3xxxe1e32201(1)(2)12lim66xxxx383．11lim1lnxxxx4．011lim1xxxexxxxxxln)1()1(lnlim11lnlnlim1xxxxxx20011limlim(1)xxxxxexexxex212ln1lnlim1xxx0011limlim222xxxxeex5．2tan)1(lim1xxx6．xxxln10)(cotlim1(1)limcot()2xxx解:令xxyln1)(cot,则xxycotlnln1ln121limcsc()22xxyxlnlim0xxxlncotlnlim0xxxx1)csc(tanlim2021sintanlim20xxxx所以1ln10)(cotlimexxx7．2lim(arctan)xxx8（见下一页）解:令xxy)arctan2(,则)arctan2ln(lnxxyyxlnlimxxx1)arctan2ln(lim22111arctan1limxxxx2arctan11lim22xxxx所以2lim(arctan)xxx2e398．10234lim3xxxxx解:设xxxxy13432，则xyxxx3432lnlnyxlnlim0xxxxx3432lnlim0134ln43ln32ln24323lim0xxxxxxx324ln24ln31324241lnln3，所以，10234lim3xxxxx324ln243e40高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性一．填空题1．函数32395yxxx在区间(1,3)内单调减少,在区间(,1)3+和（，）内单调增加．2．1yxx在区间1001（-，）和（，）内单润减少，在区间-11+（，）和（，）内单调增加．3．函数3yx的单调增区间是R。4．函数22lnyxx在区间102（，)内单调减少,在区间1(,)2内单调增加．5．曲线xyxe的凸(向上凸)区间是_(,2)__，凹(向下凸)区间是(2,+).6．若曲线3()yaxb在3(1,())ab处有拐点，则a与b应满足关系a=b,a0且。7.当a0,b0，c1时,点(0,1)为曲线32yaxbxc的拐点。二．选择题1.曲线3121yxx在区间(0,2)内[B]（A）凹且单调增加（B）凹且单调减少（C）凸且单调增加（D）凸且单调减少2．若)(xf二阶可导，且)()(xfxf，又),0(x时，0)(xf，0)(xf，则在)0,(内曲线)(xfy[C]（A）单调下降，曲线是凸的（B）单调下降，曲线是凹的（C）单调上升，曲线是凸的（D）单调上升，曲线是凹的3．条件0)(0xf是)(xf的图形在点0xx处有拐点的(D)条件．（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）以上都不是414．设函数)(xf连续，且0)0(f，则存在0，使得[C]（A）)(xf在),0(内单调增加（B）)(xf在)0,(内单调减少（C）对任意的),0(x有)0()(fxf（D）对任意的)0,(x有)0()(fxf5．曲线22)3()1(xxy的拐点个数为[C](A)0（B）1（C）2（D）3三．讨论方程3310xx在区间[0,1]内有几个根？解：设13)(3xxxf0，则)(xf在[0,1]上连续.又01)1(,01)0(ff,故由闭区间上连续函数的性质可知存在(0,1)()=0.f使得即0()fx在[01]，至少有一个根。又当10x时,033)(2xxf所以)(xf在(0,1)单调减少,即0()fx在[01]，至多有一个根。综上所述,0()fx在[01]，只有一个根。四．证明题：1．证明31tan3xxx(0)2x证明：令31()tan3fxxxx故2222sec1()tanfxxxxx又，(0,)tan02xxx所以，()0fx，即()fx在(0,)2单调递增(0,)()(0)02xfxf，即31tan3xxx。得证422．利用函数的凹凸性证明lnln()ln()2xyxxyyxy(0,0,)xyxy证：令0()ln,ftttt11,10()lnln()ftttttftt所以()ft在(0,)上是向上凹的故对任意的,(0,)xy22()()()xyfxfyf即222lnlnln()xyxyxxyy所以，2lnln()ln()xyxxyyxy43高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.5函数的极值一.填空题1.当1x时，函数33yxpxq有极值，那么p12．函数)2sin(xy，在区间[,]上的极大值点0x0.3．当a2时，函数xxaxf3sin31sin)(在3x处取得极大值时，其极大值为3.4．若曲线32yaxbxcxd在0x处取得极值0y，(1,1)点是拐点，则a12，b32，c0，d0．二.选择题1．设函数)(xf满足，0)(0xf，)(1xf不存在，则[D](A)0xx及1xx都是极值点(B)只有0xx是极值点(C)只有1xx是极值点(D)0xx与1xx都有可能不是极值点2．当0xx时,()0fx,当0xx时,()0fx,则0x必定是函数()fx的[D](A)极大值点;(B)极小值点;(C)驻点;(D)以上都不对3．下列命题为真的是[D](A)若0x为极值点，则0)(0xf(B)若0)(0xf，则0x为极值点(C)极值点可以是边界点(D)若0x为极值点，且存在导数，则0)(0xf4．如果()fx在0x达到极大值,且0()fx存在，则0()fx[A](A)0;(B)0;(C)0;(D)0445．设函数)(xf在),(内连续，其导数的图形如图所示，则)(xf有[C]（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点6．函数)1ln()(2xxxf在定义域内[A]（A）无极值（B）极大值为2ln1（C）极小值为2ln1（D）)(xf为非单调函数7．若函数22xxy的极大值点是21x，则函数22xxy的极大值是[D](A)21(B)1681(C)49(D)23三．求下列函数极值1．y32395xxx解：23x33+169()()yxxx令0y可得13x=-或x当1x时，0y，当1x3时，0y所以y在1x处取得极大值(1)10y当13x时y0当x3时0y所以y在3处取得极小值y(3)22。2．223(5)(1)yxx解：2123322(5)(1)(5)(1)3