2019考研数学高数知识点章节总结图(最终版)

第一课 函数、初等函数的泰勒展开式、极限函数与反函数函数的概念（数集到数集的映射）常见的分段函数是一个函数，不是多个函数大括号函数绝对值函数取整函数最值函数（最大值、最小值）符号函数狄利克雷函数反函数（要求一一映射）反函数反三角函数函数的四个特性单调性（导数）有界性奇偶性周期性复合函数与初等函数复合函数初等函数五类基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数初等函数的泰勒展开式（近似代替）特殊的泰勒公式：麦克劳林公式常见函数的泰勒展开式最重点考查的其它常见的泰勒展开式见高数精讲讲义p6-7面泰勒公式的计算多项式幂次越高，越精确在哪里展开，哪里最精确展开原则：上下同阶，幂次最低极限的相关概念与性质概念性质唯一性局部保号性局部有界性第二课 函数的极限极限的概念与性质概念一般概念左右极限一些注意点α为无穷小量性质唯一性局部保号性局部有界性无穷小的比较无穷小与无穷大无穷小无穷大无穷小的比较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小无穷小的阶等价无穷小常见等价无穷小（x→0）无穷小排序极限的运算法则基本运算法则极限的四则运算其他法则推广拆分极限存在的项，只要有一个存在就可以拆分计算非零因子幂指函数指数化抓大头（用于除法）极限存在准则与两个重要极限极限存在准则两个重要极限函数求极限的步骤1.x=？，代入极限分析2.化简方法3.计算极限的计算方法连续函数极限的四则运算复合函数极限洛必达法则（求导）泰勒公式（用于加减法）等价无穷小两个重要极限1^无穷（1的无穷大的类型）极限运算法则的推广极限存在准则第三课 数列求极限 连续与间断极限的反问题已知极限求另一极限已知极限求参数数列求极限利用定积分定义求数列极限利用单调有界准则求极限注意点函数的渐近线垂直渐近线水平渐近线斜渐近线函数的连续性与间断点连续的定义解题点：极限函数间断点闭区间上连续函数的性质可导与连续的关系第二章 导数与微分导数的概念与性质导数的概念及单侧导数导数的定义左导数=右导数⇄可导导数的几何意义如果函数y=f(x)在点x0处导数f′(x0)存在，则在几何上f′(x0)表示曲线y=f(x)在点（x0，f(x0))处的切线的斜率求切线方程、法线方程求切线方程、法线方程的一般步骤微分的定义微分的几何意义可微、可导、连续、导函数连续的关系函数求导导数与微分表导数的四则运算法则反函数求导法则复合函数求导法则由参数方程确定函数的求导法则隐函数求导法则分段函数的导数变限积分求导高阶导数的概念第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理费马引理罗尔定理概念证明题类型:f(ξ)=0的结构一阶导数等于零，通用方法：找两个原函数的点相等二阶导数等于零，两个一阶导相等或三个原函数的点相等证明表达式的题目（g(ξ，f(ξ)，f'(ξ)，f''(ξ))=0双介值问题不含导数的证明题证明关键在于：看清题型，找到方法，构造辅助函数拉格朗日中值定理概念证明题部分(数学一、二）证明拉格朗日中值定理的思路和过程见学习包课堂笔记处主要由罗尔定理证明的柯西中值定理概念证明柯西中值定理的思路和过程见学习包课堂笔记处主要由罗尔定理证明的洛必达法则泰勒公式初等函数的泰勒展开式（近似代替）特殊的泰勒公式：麦克劳林公式常见函数的泰勒展开式泰勒公式的计算泰勒中值定理概念证明题部分(数学一、二)找展开点类型：一长串的式子、高阶导数形式，尤其是三阶导数形式解题思路单调性、极值点与凹凸性、拐点判断函数的单调性函数的极值概念极值点的判定凹凸性与拐点凹凸性的定义（对于可导函数)拐点的定义凹凸性的判别和拐点的求法函数的昀大值和 昀小值f(x)在[a,b]上连续极值点端点画图，根据单调性判断考点：定积分函数函数不等式的证明与方程根的问题(考研数学中的两大证明！！）函数不等式的证明方法利用函数的单调性定义不等式的证明步骤数值不等式考点：通用方法积分不等式考点利用函数的昀值利用微分中值定理利用曲线的凹凸性确定方程根的个数问题有根：零点定理个数：单调性曲率数学一、二，为数二重点定义曲率公式曲率圆(了解)第四章 不定积分基本概念与性质原函数与不定积分的概念F'(x)=f(x),xϵI,则称F(x)为f(x)的原函数若f(x)连续，则存在F(x)若f(x)在x=x0处无穷、可去、跳跃间断点，则不存在F(x)振荡间断点，可能存在F(x)F'(x)=f(x)若F(x)为偶函数 ⇄f(x)奇函数若F(x)为奇函数 →f(x)偶函数若F(x)为周期函数→f(x)为周期函数常数也是周期函数不定积分的性质原函数的存在性不定积分的计算基本积分公式表第一类换元法（凑微分）第二类换元法（去根号）分部积分法分部积分公式选u顺序：对反幂三指特殊方法：表格法（小题中用）只有一个三角函数或对数函数，也可直接分部积分有理函数积分假分式真分式简单三角有理函数积分奇数次幂凑微分偶数次幂降幂可能用到的公式和角公式倍角公式降幂公式诱导公式特殊方法：组合积分法分段函数的不定积分不定积分解题思路方法总结解题思路凑微分看有没有根号，再考虑去根号分部积分有理函数积分解题方法以上四类基本方法三角函数积分法使用各种三角函数的公式出现指数函数，可以用凑微分考虑分子分母同乘的情形加一个减一个的情形凑：1-某数的情形等第五章 定积分定积分的概念与性质定义几何意义性质定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式定积分的换元法和分部积分法换元法分部积分法考点:含抽象函数f(x)的积分重要换元分段函数求积分考点：定积分函数做题分析思路：与不定积分一致定积分的证明等式利用单调性含抽象函数不等式b→x，f(x)≧g(x)含抽象函数考点：数与积分比大小变上限积分函数定义定理求导考点：含有变限积分函数的等式方程广义积分无穷区间上的广义积分概念计算常用结论敛散性的判定无界函数的广义积分(瑕积分)概念常用结论敛散性的判定反常积分计算反常积分的计算同定积分，该代入上下限的求极限注意瑕点，若出现多个瑕点，一定要在瑕点处拆开算反常积分化成定积分伽马函数(选学)概念第六章 定积分的应用定积分的几何应用平面图形的面积直角坐标系极坐标系参数形式表出的曲线所围成的面积（数一、二重点；数三了解）平面曲线的弧长（数一、二）特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分）已知平行截面面积的立体体积绕坐标轴旋转的旋转体的体积侧面积（仅数一、二）定积分的物理应用（数一、二）变力做功静水压力引力问题第七章 微分方程概念微分方程微分方程的阶未知函数的最高阶导数解y=f(x)（x=g(y)）微分方程的通解微分方程的特解一阶微分方程变量可分离微分方程齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程考点：含有变限积分函数的等式方程结合微分方程的考察考点：是一阶导，但不属于前面三种类型之一：简单变形可降阶的微分方程（数一、二，数二重点）二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程标准形式通解公式特征方程求解倒过来求原方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式求特解的待定系数法线性微分方程解的结构全微分方程：仅为数二的知识点部分其他微分方程（仅数一）伯努利方程全微分方程欧拉方程做一个换元，就变成了二阶常系数线性微分方程概念第九章 多元函数微分法及其应用多元函数基本概念例如：二元函数：Z=f(x,y)多元函数的极限：以二元函数极限为例任意方向极限存在且=A极限的三种类型二元函数的连续概念闭区间上连续函数的性质最值定理介值定理偏导数偏导数的定义偏导数的计算二阶偏导数二阶偏导数的计算二阶混合偏导数的计算特殊情况全微分连续、可偏导、可微的关系复合函数求导法则求导法则复合函数的结构求二阶偏导时，复合关系与求一阶偏导相同，函数关系可能不同求二阶偏导时，容易丢项，需注意若题目中给出x、y的值，只对y求偏导的话，可先代入x的值也可以先计算全部偏导数，最后再代值多元隐函数求导隐函数存在定理求偏导直接求，把z看作xy的函数公式法一阶微分（全微分）形式不变性判断一个地方是否存在隐导数，求全微分考点：结合变限积分函数的考察多元函数求偏导的变形题偏积分：偏导数的逆运算多元函数极值求解极值定义（局部性质）极值的必要条件极值的充分条件条件极值问题概念求解解题点:当解方程没有方法和思路时，不好算的情况下闭区域上连续函数最值数一部分第十三课 二重积分基本概念及性质矢量性性质运算性质（与定积分类似）普通对称性（偶倍奇零）轮换对称性dσ=dxdy考点：二重积分是一个常数考点：二重积分比大小 二重积分的基本计算在直角坐标系下计算二重积分x型y型总结在极坐标下计算二重积分dσ=rdrdθ雷达扫描六个圆的方程两条直线几类特殊重积分的计算分片函数的重积分含有绝对值的情形交换积分次序的情形无界区域上简单的二重积分二重积分计算解题步骤画D观察对称性观察被积函数，先扫描的后计算化为累次积分计算更多考研数学资料及专业课笔记讲义关注微博：@考研资料下载吧考研数学视频推荐：1、2019考研数学基础通关班（数学一、二、三）详情点击：、【全程班】2019考研数学零基础跨名校全程班详情点击：、名师米鹏带你突破政治80分（全程班）详情点击：