人教A版数学选修23全册课件第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一章1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理2突破常考题型题型一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二1理解教材新知1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理[提出问题]2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．问题1：该志愿者从济南到沈阳的方案可分几类？提示：两类，即乘飞机、坐火车．分类加法计数原理问题2：这几类方案中各有几种方法？提示：第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？提示：共有7＋6＝13种不同的方法．[导入新知]1．完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝种不同的方法．m＋nm1＋m2＋…＋mn[化解疑难]1．分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．3．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．[提出问题]2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从济南到北京每天有7个航班，从北京到沈阳每天有6列火车．问题1：该志愿者从济南到沈阳需要经历几个步骤？提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到沈阳．分步乘法计数原理问题2：完成每一步各有几种方法？提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？提示：共有7×6＝42种不同的方法．[导入新知]1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝种不同的方法．m×nm1×m2×…×mn[化解疑难]1．分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件．2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．3．分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同．分类加法计数原理[例1]某校高三共有三个班，各班人数如下表.男生数女生数总数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？[解](1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．[类题通法]利用分类加法计数原理时要注意(1)要准确理解题意，确定分类的标准．(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性．[活学活用]若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.[例2]从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．分步乘法计数原理[解](1)三位数有三个数位：，故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．百位十位个位(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．[类题通法]利用分步乘法计数原理时要注意(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．[活学活用]一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20种不同的取法．(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法．两个计数原理的综合应用[例3]现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？[解](1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000种选法．(3)①从高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2100种选法；②从高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1260种选法；③从高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1500种选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860种选法．[类题通法]在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．[活学活用]有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．1.计数时出现的“遗漏”[典例]有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面，2面，3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？[解]每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．[易错防范]1．求解时，易忽略信号可分为每次升1面、每次升2面、每次升3面这三类．2．解决此类问题一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性．[成功破障]某外语小组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解：共分三类：第1类，当既会英语又会日语的人参加英语时，选出只会日语的一人既可，有2种选法；第2类，既会英语又会日语的人参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；第3类，既会英语又会日语的人既不参加英语也不参加日语时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人，有2×6＝12种方法，故共有2＋6＋12＝20种选法．[随堂即时演练]1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．12C．64D．81解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．答案：B2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18B．17C．16D．10解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．答案：B3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________．解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．答案：364．一学习小组有4名男生，3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，共有4＋3＝7种不同选法．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同选法．答案：7125．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解：(1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．[课时达标检测]