人教A版选修11教案11变化率问题12导数的概念含答案

§3．1.1变化率问题§3．1.2导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)引入变化率和瞬时速度1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.2.确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量)为导数概念的引入做铺垫平均速度00sttstsvtt根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt.时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度0000limlimttsttstvvt所以当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度(2)例题讲解例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=21gt2，其中位移单位m，时间单位s，g=9.8m/s2.求t=3这一时段的速度.解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs=21g(3+Δt)2－21g·32=2g(6+Δt)Δt，平均速度21tsvg(6+Δt)瞬时速度为：m/s4.293)(21limlim00gttgvvtt由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4m/s例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)当t=2，Δt=0.01时，求ts.(2)当t=2，Δt=0.001时，求ts.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，ts即平均速度，当Δt越小，求出的ts越接近某时刻的速度.解：∵ttttttsttsts)32(3)(2)()(22=4t+2Δt∴(1)当t=2，Δt=0.01时，ts=4×2+2×0.01=8.02cm/s(2)当t=2，Δt=0.001时，ts=4×2+2×0.001=8.002cm/s(3)v=00limlimttts(4t+2Δt)=4t=4×2=8cm/s(3)导数的概念设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/注意：(1)函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0(3)xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率.要让学生理解导数概念例3、求y=x2在点x=1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求xy，最后求0limxxy.解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，xxxxy2)(2=2+Δx∴0limxxy=0limx(2+Δx)=2.∴y′|x=1=2.注意：(Δx)2括号别忘了写.学生自学教材P75例1(4)课堂小结(1)理解函数的概念。（2）求函数)(xfy的导数的一般方法：①求函数的改变量)()(xfxxfy.②求平均变化率xxfxxfxy)()(.③取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim.补充题目：1.一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为（）Ａ．从时间t到tt时，物体的平均速度；Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t时物体的速度；Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度解：瞬时速度v=2200(5)(5)(5)5limlimttststtt0limt(10+Δt)=10m/s.∴瞬时速度v=2t=2×5=10m/s.3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.解：瞬时速度v=tttststt)322(3)2(2lim)2()2(lim2200=0limt(8+2Δt)=8cm/s.