人教版数学选修44课件12极坐标系

坐标系第一讲•1.2极坐标系•2.1曲线的参数方程•2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练•在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取___________为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)课前教材预案•要点一极坐标系的建立逆时针方向•对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的___________，θ叫做点M的___________，有序数对(ρ，θ)就叫做M的___________．•特别强调：由极径的意义可知ρ≥0；当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)建立一一对应的关系．我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角为任意角．•要点二极坐标系内一点的极坐标极径极角极坐标•1．互化前提：极点与直角坐标系的___________；极轴与直角坐标系的x轴的______________；•两种坐标系中取_____________________．•2．互化公式：直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：•要点三极坐标与直角坐标的互化原点重合正半轴重合相同的长度单位x＝___________y＝___________或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.说明：(1)上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式．(2)通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ2π.ρcosθρsinθ课堂深度拓展•考点一极坐标系中的点的极坐标•求点的极坐标的注意点•与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画平面上点的位置的一种方法．在极坐标系中，点的坐标为(ρ，θ)，在ρ≥0，0≤θ2π的前提下，平面的点与有序数组(ρ，θ)是一一对应的，如果没有上述限制条件，那么一个点的极坐标有无穷多个．•思维导引：从题目中得到信息：A点极坐标，作出极坐标系，确定点A的位置，想一想极轴，直线l，极点的位置，作出点A关于它们的对称点，极径变了没有？极角是什么？最后写出它们的极坐标．【例题1】在极坐标系中，设点A4，π6，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ0，－πθ≤π)．解析：如图所示，作出极坐标系．点A关于极轴的对称点为B4，－π6.点A关于直线l的对称点为C4，5π6.点A关于极点O的对称点为D4，7π6.【变式1】(2016·江苏高三月考)与极坐标2，π6不表示同一个点的极坐标是()A．2，25π6B．2，－7π6C．2，－11π6D．2，13π6解析：根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点的规律，检验可知只有2，－7π6不是同一个点的极坐标．B•考点二将点的极坐标化为直角坐标将点的极坐标化为直角坐标的技巧(1)点的极坐标与直角坐标互化公式有三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴非负半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．(2)由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ结合点的极坐标(ρ，θ)，直接求出(x，y)．【例题2】写出下列各点的直角坐标．(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.思维导引：由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ结合点的极坐标(ρ，θ)求解．解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2，y＝4sin23π＝4×32＝23，得4，23π的直角坐标为(－2,23)．(2)由x＝2cos56π＝2×－32＝－3，y＝2sin56π＝2×12＝1，得2，56π的直角坐标为(－3，1)．(3)由x＝4cos－π3＝4×12＝2，y＝4sin－π3＝4×－32＝－23，得4，－π3的直角坐标为(2，－23)．【变式2】若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)将M的极坐标8，23π化成直角坐标；(2)将A的极坐标4，53π化成直角坐标．解析：(1)由x＝8cos2π3＝－4，y＝8sin2π3＝43.得M的直角坐标为(－4,43)．(2)x＝4cos5π3＝2，y＝4sin5π3＝－23.即A的直角坐标为(2，－23)．•考点三将点的直角坐标化为极坐标•(1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式；•(2)注意极径和极角的取值范围．【例题3】分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ2π)．(1)(－2,2)；(2)(2，－23)；(3)－32π，－32π.思维导引：由已知――――――――――→借助ρ＝x2＋y2求ρ由tanθ＝yxx≠0求θ转化为极坐标．解析：(1)ρ＝－22＋22＝22，tanθ＝2－2＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第二象限，所以θ＝34π，所以直角坐标(－2,2)化为极坐标为22，34π.(2)ρ＝22＋－232＝4，tanθ＝－232＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(2，－23)在第四象限，所以θ＝53π，所以直角坐标(2，－23)化为极坐标为4，53π.(3)ρ＝－32π2＋－32π2＝3π，tanθ＝－32π－32π＝3，θ∈[0,2π)，由于点－32π，－32π在第三象限，所以θ＝43π，所以直角坐标－32π，－32π化为极坐标为3π，43π.•【变式3】若以极点原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(限定ρ0,0≤θ2π)．解析：∵ρ＝x2＋y2＝22＋－22＝22，tanθ＝－22＝－1，且点B位于第四象限内，∴θ＝7π4.点B的极坐标为22，7π4.又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，∴点C的极坐标为15，3π2.•考点四极坐标系中两点之间的距离求极坐标系中两点间距离的方法求极坐标下两点A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)的距离时可以利用公式|AB|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2求得；也可以把A，B两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d＝x1－x22＋y1－y22求得．•思维导引：直接利用两点间的距离公式求解．【例题4】(2016·安徽安庆检测)在极坐标系中求下列两点之间的距离．(1)A3，－π3，B1，23π；(2)A2，π4，B4，π3；(3)A1，π3，B2，23π.解析：(1)∵A3，－π3，B1，23π∴∠AOB＝23π－－π3＝π，即A与B在一条直线上．∴|AB|＝3＋1＝4.(2)∵A2，π4，B4，π3，∴∠AOB＝π3－π4，cos∠AOB＝cosπ3－π4＝cosπ3cosπ4＋sinπ3sinπ4＝12×22＋32×22＝6＋24.∴|AB|＝22＋42－2×2×4cos∠AOB＝4＋16－16×6＋24＝20－46－42.(3)∵A1，π3，B2，23π∴∠AOB＝23π－π3＝π3，∴|AB|＝12＋22－2×1×2×cos∠AOB＝1＋4－4×cosπ3＝3.【变式4】在极坐标中，如果等边三角形的两个顶点是A2，π4，B2，54π，则求第三个顶点C的坐标．解析：由题设知，A，B两点关于极点O对称，又|AB|＝4，由正三角形的性质知，|CO|＝23，∠AOC＝π2，从而C的极坐标为23，34π或23，－π4.课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统