人教版高中数学选修21课件第2章圆锥曲线与方程232第2课时

数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质第二课时直线与双曲线的位置关系数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题．2．掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．过双曲线的焦点与渐近线平行的直线与双曲线有几个交点？[提示]1个交点．2．类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系是怎样的？[提示]直线与双曲线相交、相切、相离．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与双曲线的位置关系及判定直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升位置关系公共点个数判定方法相交2个或1个m＝0或m≠0Δ0相切1个m≠0且Δ＝0相离0个m≠0且Δ0数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：|AB|＝1＋k2|x1－x2|，或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升正确理解直线与双曲线位置关系及判定一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m≥2或m≤－2B．－2≤m≤2且m≠0C．m∈RD．－2≤m≤2数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：D解析：由方程组y＝mx＋1x2－y2＝1，消去y，整理得(1－m2)·x2－2mx－2＝0，若直线与双曲线总有公共点，则Δ＝8－4m2≥0恒成立，故m∈[－2，2]．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：B解析：由于AB的中点为N(－12，－15)，所以直线l的斜率k＝－15－0－12－3＝1，所以直线l的方程为y＝x－3，由于F(3,0)是E的焦点，可设双曲线的方程为x2a－y29－a＝1(0a9)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝x－3x2a－y29－a＝1，化简得(9－2a)x2＋6ax＋a2－18a＝0，因为AB的中点为N(－12，－15)，所以x1＋x2＝－6a9－2a＝－24，解得a＝4.故选B.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．解析：当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.答案：±1数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．解析：∵a＝1，b＝3，c＝2，又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，∴l的方程为y＝x－2，由y＝x－2，3x2－y2＝3消去y并整理得2x2＋4x－7＝0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－720，∴A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72，∴|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2=6.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线y＝kx＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当k为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当k为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？思路点拨：直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解，也就是消元后获得的一元二次方程有两解．两交点在同一支上，则说明两个交点的横坐标同号，即一元二次方程有两个同号根，两交点分别在两支上，则说明两个交点的横坐标异号，即一元二次方程有两个异号根．直线与双曲线的位置关系数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升把y＝kx＋1代入3x2－y2＝1，整理，得(3－k2)x2－2kx－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，要使直线与双曲线有两个交点，则需满足：k≠±3，且Δ＝24－4k2＞0.由Δ＞0，解得－6＜k＜6，所以当－6＜k＜6，且k≠±3时，一元二次方程有两解，直线与双曲线有两个交点．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升若A，B在双曲线的同一支上，须x1x2＝2k2－3＞0，解得k＜－3或k＞3；若A，B分别在双曲线的两支上，须x1x2＝2k2－3＜0，解得－3＜k＜3.所以，当－6＜k＜－3或3＜k＜6时，A，B两点在同一支上；当－3＜k＜3时，A，B两点在双曲线的两支上．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．(1)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有两个公共点，求k的取值范围；(2)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点，求k的取值范围；(3)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，求k的取值范围；数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的左支有两个公共点，求k的取值范围；(5)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4两支各有一个交点，求k的取值范围．解析：由y＝kx－1x2－y2＝4得(1－k2)x2＋2kx－5＝0(*)(1)直线与双曲线有两个公共点⇔(*)式方程有两个不等的根⇔1－k2≠04k2＋201－k20⇔－52k52且k≠±1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)此时等价于(*)式方程只有一解．当1－k2＝0即k＝±1时，(*)式方程只有一解；当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，解得k＝±52，故k的值为±1或±52.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)此时等价于(*)式方程有两个不等的正根⇔4k2＋201－k20，－2k1－k20，－51－k20，即－52k52，k1或－1k0，k1或k－1⇔1k52.(4)此时等价于(*)式方程有两个不等的负根，同(3)可得：－52k－1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(5)此时等价于(*)式方程有两个相异实根，即4k2＋201－k20，－51－k20，所以－1k1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|；(2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．思路点拨：知道了倾斜角就知道了直线的斜率，因此，解答(1)可直接使用弦长公式；(2)是弦中点问题，可使用参数法求解，也可采用点差法．弦长与中点弦问题已知过定点P(0,1)的直线l交双曲线x2－y24＝1于A，B两点．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由题意知，直线l的方程为y＝x＋1，联立方程组y＝x＋1，x2－y24＝1消去y得3x2－2x－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝23，x1x2＝－53.|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋12232－4×－53＝823.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：设中点M的坐标为(x，y)，弦AB端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，即x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，又∵A，B两点在双曲线上，∴x21－y214＝1，①x22－y224＝1，②数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升①－②得4(x21－x22)＝y21－y22，∴4(x1＋x2)·(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)∵x1≠x2，∴y1－y2x1－x2＝4x1＋x2y1＋y2＝4×2x2y＝4xy，即kAB＝4xy.又∵P，M两点在直线l上，∴kAB＝kPM＝y－1x－0，∴4xy＝y－1x，即4x2－y2＋y＝0(y－4或y1)∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y－4或y1)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设M(x，y)，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，由y＝kx＋1，x2－y24＝1消去y得(4－k2)x2－2kx－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴4－k2≠0，Δ＝(－2k)2－4×(－5)(4－k2)0，即－5k5，数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主