人教版高中数学选修21课件第2章圆锥曲线与方程242第2课时

数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质第二课时直线与抛物线的位置关系数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法．2．会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与抛物线的位置关系及判定位置关系公共点判定方法相交_________公共点k＝0或k≠0Δ0相切________公共点Δ＝0相离___公共点Δ0联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ有1或2个有1个无数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升有关弦长问题1．一般弦长设P1x1，y1，P2x2，y2|P1P2|＝1＋k2|x1－x2||P1P2|＝1＋1k2|y1－y2|数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．焦点弦长若AB为抛物线y2＝2px(p0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|AF|＋|BF|＝_____________.x1＋x2＋p数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对抛物线的焦半径与焦点弦的认识抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)焦半径PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝p2－x0|PF|＝y0＋p2|PF|＝p2－y0焦点弦AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－(x1＋x2)|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－(y1＋y2)数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为()A.332B.255C.7510D.172数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：B解析：由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离d＝|2＋0－4|22＋1＝255.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：直线AB的方程为y＝x－p2，代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0∴y1＋y2＝2p＝4，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x，∴其准线方程为x＝－1.答案：B数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋12＝0的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，∴x1＋x2＝4－12＝72，∴中点C(x0，y0)到直线x＋12＝0的距离为x0＋12＝x1＋x22＋12＝74＋12＝94.答案：94数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝35，求此抛物线的方程．解析：设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝2x－4，y2＝ax消去y得4x2－(a＋16)x＋16＝0.由Δ＝(a＋16)2－2560得a0或a－32.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又∵x1＋x2＝a＋164，x1·x2＝4.∴|AB|＝1＋22[x1＋x22－4x1x2]＝35即5a＋1642－16＝45，∴a＝4或a＝－36.∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．思路点拨：将直线方程与抛物线方程联立，消去y后化为关于x的方程，其中二次项系数含参，分类讨论方程有一解时a的取值．直线与抛物线的位置关系数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组y＝a＋1x－1，y2＝ax有唯一一组实数解．消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解x＝－1y＝－1.(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0或a＝－45.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当a＝0时，原方程组有唯一解x＝1y＝0；当a＝－45时，原方程组有唯一解x＝－5y＝－2.综上，实数a的取值集合是－1，－45，0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为二次方程，利用判别式判断方程解的个数．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：将l和C的方程联立得y＝kx＋1，y2＝4x，消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，x＝14，y＝1.∴直线l与C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：(1)当Δ0，即k1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时称直线l与C相交．(2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与C相切．(3)当Δ0，即k1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C相离．综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；当k1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；当k1时，直线l与C没有公共点．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．思路点拨：弦所在直线经过焦点(1,0)，因为弦长为36，所以可判断直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．焦点弦问题数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线斜率为k.且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，∴直线的方程为y＝k(x－1)．由y＝kx－1，y2＝4x整理得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴x1＋x2＝2k2＋4k2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝2k2＋4k2＋2.又|AB|＝36，∴2k2＋4k2＋2＝36，∴k＝±24.∴所求直线方程为y＝24(x－1)或y＝－24(x－1)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对于抛物线的焦点弦，应熟悉一些常见的结论，并可直接应用于选择题和填空题的解答，如，设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)(A，B点为直线与抛物线的交点)，则有：①y1y2＝－p2；②x1x2＝p24；③|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长．解析：方法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，所以直线AB方程为y＝x－1①将方程①代入抛物线方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x.化简得x2－6x＋1＝0.解得x1＝3＋22，x2＝3－22.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升将x1，x2的值代入方程①中，得y1＝2＋22，y2＝2－22，即A，B的坐标分别是(3＋22，2＋22)，(3－22，2－22)．∴|AB|＝422＋422＝8.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：根据抛物线的定义，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离，即|AF|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，于是得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2.由上可知，x2－6x＋1＝0，故x1＋x2＝6.∴|AB|＝6＋2＝8.说明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程：y2＝2px(p0)，则焦点弦的计算公式：|AB|＝x1＋x2＋p.方法三：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·62－4×1＝8.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．思路点拨：解答本题利用点差法或根与系数关系的方法，寻找等量关系．弦中点问题数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y，kAB＝y1－y2x1－x2＝y－1x－2.4分∵y21＝2x1y22＝2x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，6分∴2y·y1－y2x1－x2＝2，即2y·y－1x－2＝2.8分数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高